Aniellu conmutativu
Apariencia
Aniellu conmutativu | |
---|---|
graded-commutative ring (en) ![]() ![]() | |
![]() |
En teoría d'aniellos (una caña del álxebra astracta), un aniellu conmutativu ye un aniellu (R, +, ·) nel que la operación de multiplicación · ye conmutativa; esto ye, si pa cualesquier a, b ∈ R, a·b = b·a.
Si adicionalmente l'aniellu tien un elementu unitariu 1 tal que 1a = a = a1 pa tou a, entós l'aniellu denominar aniellu conmutativu unitariu.
La caña de la teoría d'aniellos qu'estudia los aniellos conmutativos denominar álxebra conmutativa.
Exemplos
[editar | editar la fonte]- L'exemplu más importante ye seique'l de los númberos enteros coles operaciones avezaes de suma y multiplicación, dambes conmutatives. Esti aniellu usualmente se denota por Z, pola pallabra alemana Zahlen (númberos).
- Los númberos racionales, reales, y complexos formen aniellos conmutativos coles operaciones avezaes; entá más, son cuerpos.
- Más xeneralmente, tou campu ye un aniellu conmutativu por definición.
- Pal casu, exemplu d'un aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de matrices cuadraes de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial
- da un resultáu distinta que si s'invierte l'orde de los factores:
- Otru aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de les funciones continues reales definíes nel intervalu zarráu [0,1] cola adición de funciones, primer operación; y la segunda operación , la composición de funciones; cumplir la asociatividad, la distributividad y la esistencia de la unidá multiplicativa I/ I(x) = x.
- Si n > 0 ye un enteru, el conxuntu Zn d'enteros módulu n forma un aniellu conmutativu con n elementos.
- Si R ye un aniellu conmutativu, el conxuntu de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevu aniellu conmutativu, denotado por R[X].
- El conxuntu de númberos racionales de denominador impar forma un aniellu conmutativu, puramente conteníu nel aniellu Q de los racionales, y que contién puramente al Z de los enteros.
Propiedaes
[editar | editar la fonte]- Si f : R ��� S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, S ye conmutativu, y f ye inyectiva (esto ye, un monomorfismo), R tamién tien de ser conmutativu, pos f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
- Si f : R → S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, con R ye conmutativu, la imaxe f(R) de R va ser tamién conmutativa; en particular, si f ye sobreyectiva (esto ye, un epimorfismo), S va ser conmutativu tamién.
El mayor interés de los aniellos conmutativos ta en cuando amás son unitarios, esto ye, los aniellos conmutativos unitarios.