Pi (mathemateg)
![]() | |
Enghraifft o'r canlynol | Rhif trosgynnol, rhif real, cysonyn mathemategol, cysonyn UCUM ![]() |
---|---|
![]() |
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Greek_lc_pi_icon.svg/100px-Greek_lc_pi_icon.svg.png)
Mae'r cysonyn mathemategol π (a sillefir hefyd fel pi) yn rhif real, anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.141592654 (i 9 lle degol) ac a gafodd ei enwi gan William Jones, mathemategydd o Gymru. Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Ewclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Pheirianneg. Enwau arall am π yw Cysonyn Archimedes a Rhif Ludolph. Dethlir Diwrnod Pi ar 14 Mawrth yn flynyddol.
Fe'i diffinnir mewn geometreg Ewclidaidd fel cymhareb (cylchedd) cylch â'i ddiamedr, ac mae ganddo hefyd amryw o ddiffiniadau tebyg. Mae'r rhif 3.14159 yn ymddangos mewn sawl fformiwla ym mhob maes o fathemateg a ffiseg.[1][2]
Gan ei fod yn Rhif anghymarebol, ni ellir mynegi π fel ffracsiwn cyffredin, er bod ffracsiynau fel 22/7 yn gyffredin a ddefnyddir i'w amcangyfrif. Yn yr un modd, nid yw ei gynrychiolydd degol byth yn dod i ben a byth yn setlo i batrwm ailadroddus. Mae'n ymddangos bod ei ddigidau degol (neu fôn arall ) yn cael eu dosbarthu ar hap, ac fe'u rhagdybir i fodloni math penodol o hap ystadegol.
Mae'n hysbys bod π yn rhif trosgynnol:[1] nid yw'n wraidd unrhyw polynomial â chyfernodau rhesymegol. Mae trosgynniaeth π yn awgrymu ei bod yn amhosib datrys yr her hynafol o sgwario'r cylch gyda chwmpawd a phren mesur!
Roedd gwareiddiadau hynafol fel yr Eifftiaid a'r Babiloniaid, yn gofyn am amcangyfrifon eithaf cywir o π ar gyfer cyfrifiannau ymarferol. Tua 250 CC, creodd y mathemategydd Groegaidd Archimedes algorithm i amcangyfrif π gyda chywirdeb mympwyol. Yn y 5g OC, amcangyfrifodd mathemategwyr Tsieineaidd π i saith digid, tra amcangyfrifodd mathemategwyr Indiaidd hyd at pum digid, y ddau yn defnyddio technegau geometreg. Darganfuwyd y fformiwla gyfrifiadol gyntaf ar gyfer π, yn seiliedig ar gyfresi anfeidrol, mileniwm yn ddiweddarach, pan ddarganfuwyd y gyfres Madhava-Leibniz gan ysgol seryddiaeth a mathemateg Kerala, a ddogfennwyd yn yr Yuktibhāṣā, ac a ysgrifennwyd tua 1530.[3][4]
Ochr yn ochr gyda datblygiad calcwlws, datblygodd y gallu i gyfrifo cannoedd o ddigidau o π, digon ar gyfer yr holl gyfrifiannau gwyddonol ymarferol. Serch hynny, yn yr 20fed a'r 21g, mae mathemategwyr a chyfrifiadurwyr wedi ymestyn cynrychiolaeth degol π i sawl triliwn o ddigidau.[5][6] Y prif gymhelliant dros y cyfrifiannau hyn yw fel achos prawf i ddatblygu algorithmau effeithlon i gyfrifo cyfresi rhifol, yn ogystal â'r ymgais i dorri record.[7][8] Defnyddiwyd y cyfrifiadau helaeth dan sylw hefyd i brofi uwchgyfrifiaduron ac algorithmau lluosi manwl iawn.
Diwrnod Pi
[golygu | golygu cod]- Prif: Diwrnod Pi (mathemateg)
Ers 1988 mae 14 Mawrth wedi cael ei ddynodi'n ddiwrnod rhyngwladol π a datblygodd i fod yn ddathliad byd-eang. Deilliodd y syniad o gael diwrnod pai o San Francisco, Unol Daleithiau'r America, lle defnyddir y fformat 'mis/dydd/blwyddyn' ar gyfer dyddiadau; o ddilyn y patrwm hwn, mae 14 Mawrth yn cyfateb i dri digid cynta'r rhif. Mae'r diwrnod hefyd yn gyfle i hyrwyddo mathemateg yn gyffredinol, yn enwedig pethau pob dydd fel gwiro arian cyfrifoedd banc.[9]
I gydnabod y cysylltiad Cymreig dynodwyd 14 Mawrth yn Ddiwrnod Pai Cymru gan Lywodraeth Cymru yn 2015 i'w ddathlu yn flynyddol o hynny ymlaen.
Diffiniad
[golygu | golygu cod]Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinnir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.
Oherwydd bod ei ddiffiniad mwyaf elfennol yn ymwneud â'r cylch, mae π i'w gael mewn sawl fformiwla mewn trigonometreg a geometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, elipsau a sfferau. Mewn dadansoddiad mathemategol mwy modern, diffinnir y rhif yn lle hynny gan ddefnyddio priodweddau sbectrol y system rhifau real, fel eigenvalue neu gyfnod, heb unrhyw gyfeiriad at geometreg. Mae'n ymddangos felly mewn meysydd mathemateg a gwyddorau nad oes ganddynt lawer i'w wneud â geometreg cylchoedd, megis theori rhif ac ystadegau, yn ogystal ag ym mron pob maes ffiseg. Mae hollbresenoldeb π, felly, yn ei wneud yn un o'r cysonion mathemategol mwyaf adnabyddus - y tu mewn a'r tu allan i'r gymuned wyddonol. Cyhoeddwyd sawl llyfr sy'n ymwneud â π, ac mae cyfrifiadau torri record nifer digidau πyn aml yn arwain at benawdau'r newyddion, drwy'r byd, ond yn enwedig yng Nghymru, cartref π.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Pi_eq_C_over_d.svg/220px-Pi_eq_C_over_d.svg.png)
Diffinnir πyn aml fel y gymhareb rhwng cylchedd cylch C s ddiffinir yn aml fel "y gymhareb rhwng cylchedd cylch a'i ddiamedr d:[7][1]
Mae'r gymhareb C/d yn gysonyn, waeth beth yw maint y cylch. Er enghraifft, os oes gan gylch ddwywaith diamedr cylch arall, bydd ganddo ddwywaith y cylchedd hefyd, gan gadw'r un gymhareb C/d. Mae'r diffiniad hwn o π yn defnyddio geometreg fflat (Ewclidaidd), er y gellir ymestyn y syniad o gylch i unrhyw geometreg cromlin (di-Ewclidaidd), ond ni fydd y cylchoedd newydd hyn yn bodloni'r fformiwla π = C/d mwyach. [10]
Yma, cylchedd cylch yw hyd yr arc o amgylch perimedr y cylch, maint y gellir ei ddiffinio'n ffurfiol yn annibynnol ar geometreg gan ddefnyddio terfynau - cysyniad o fewn calcwlws.[11] Er enghraifft, gall un gyfrifo hyd arc hanner uchaf cylch yr uned yn uniongyrchol, a roddir mewn cyfesurynnau Cartesaidd gan yr hafaliad x2 + y2 = 1, fel yr integryn:[12]
Mabwysiadwyd integryn fel hyn yn y diffiniad o π gan Karl Weierstrass, a'i diffiniodd yn integryn ym 1841. Nis defnyddir y diffiniad hwn bellach.
π fel llythyren
[golygu | golygu cod]Enw'r lythyren Roegaidd π yw pi. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r lythyren Roegaidd neu pan fydd y defnydd o'r symbol yn achosi dryswch.
Y symbol a ddefnyddir gan fathemategwyr i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch â'i ddiamedr yw'r llythyren Roegaidd , sy'n deillio o lythyren gyntaf y gair Groeg perimetros, sy'n golygu cylchedd. Yn ôl Uned Technolegau Iaith Prifysgol Bangor, yn y Gymraeg, yngenir y lythyren Roegaidd hon fel "pi" gan ddilyn yr ynganiad Roegaidd yn hytrach na'r ynganiad Saesneg "pai".[13] Mewn defnydd mathemategol, mae'r llythyren fach yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei phrif lythyren Π, gan fod honno'n dynodi cynnyrch o ddilyniant mewn mathemateg, sy'n cyfateb i sut mae Σ yn dynodi crynhoad.
Gwerth Rhifiadol
[golygu | golygu cod]- 50-lle degol
Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:
- 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd ac o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml mae angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.
- 9-lle degol
Dyma werth π wedi ei flaendorri i i'r 9-lle degol cyntaf: 3.141592653. Yn Gymraeg gellir creu cofair (nemonig) drwy roi llythrennau i gynrychioli pob digid: 0 Di; 1 Un; 2 Da; 3 Tr; 4 Pe; 5 Pu; 6 Ch; 7 Sa; 8 Wy; 9 Na; 10 De. Dyma'r cofair:
- "Triodd unawd pêr unwaith: pur ei naws a da! Chwydodd Puw trosto!".
(Tr-iodd Un-awd Pê-r Un-nwaith, Pu-r ei Na-ws a Da! Ch-wydodd Pu-w Tr-osto! sef 3-iodd 1-awd 4-r 1-nwaith, 5-r ei 9-ws a 2! 6-wydodd 5-w 3-osto!)
Priodweddau
[golygu | golygu cod]Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h. y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Yn rhif anghymarebol, ni all π fod yn ffracsiwn, er bod 22/7 yn cael ei ddefnyddio’n gyffredinol i’w frasamcanu.
Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.
Cyfrifo π
[golygu | golygu cod]Gellir mesur π yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo π gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.
Dyma fformwla Leibniz:
Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth π i 2 le degol!
Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws r a'i ganol ar y tarddiad. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter d o'r tarddiad, a d yn llai nag r, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:
Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo A, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:
Trosgynoldeb
[golygu | golygu cod]![A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/220px-Squaring_the_circle.svg.png)
Yn ogystal â bod yn afresymol, mae π hefyd yn rhif trosgynnol,[1] sy'n golygu nad yw'n ateb unrhyw hafaliad polynomaidd nad yw'n gyson â chyfernodau cymarebol, fel x5/120 − x3/6 + x = 0 [14]
Mae gan drosgyniad π ddau ganlyniad pwysig: yn gyntaf, ni ellir mynegi π gan ddefnyddio unrhyw gyfuniad meidrol o rifau rhesymegol ac ail isradd neu n-fed isradd (megis 3√31 neu √10). Yn ail, gan na ellir llunio rhif trosgynnol gyda chwmpawd a phren mesur, nid yw'n bosibl "sgwario'r cylch". Mewn geiriau eraill, mae'n amhosibl llunio, gan ddefnyddio cwmpawd a phren mesur yn unig, sgwâr y mae ei arwynebedd yn union yr un fath ag arwynebedd cylch penodol.[15] Roedd sgwario cylch yn un o broblemau geometreg pwysig yr oes glasurol.[16] Mae mathemategwyr amatur yn y cyfnod modern weithiau wedi ceisio sgwario'r cylch a hawlio llwyddiant - er gwaethaf y ffaith ei fod yn fathemategol amhosibl![17]
![A photograph of the Greek letter pi, created as a large stone mosaic embedded in the ground.](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Matheon2.jpg/220px-Matheon2.jpg)
Fel pob rhif anghymarebol, ni ellir cynrychioli π fel ffracsiwn cyffredin (a elwir hefyd yn ffracsiwn syml), gan yr union ddiffiniad o rif anghymarebol (h.y., nid rhif cymarebol). Ond gellir cynrychioli pob rhif anghymarebol, gan gynnwys π, gan gyfres anfeidrol o ffracsiynau nythol, a elwir yn ffracsiwn parhaus:
Mae blaendorri'r ffracsiwn parhaus ar unrhyw bwynt yn cynhyrchu brasamcan rhesymegol ar gyfer π; y pedwar cyntaf o'r rhain yw 3, 22/7, 333/106, a 355/113. Mae'r niferoedd hyn ymhlith y brasamcanion hanesyddol mwyaf adnabyddus o'r cysonyn. Y brasamcan a gynhyrchir fel hyn yw'r brasamcan cymarebol gorau; hynny yw, mae pob un yn agosach at π nag unrhyw ffracsiwn arall gyda'r un enwadur neu lai.[18] Gan y gwyddom fod π yn drosgynnol, nid yw'n algebraidd (trwy ddiffiniad) ac felly ni all fod yn anghymarebol-gwadratig . Felly, ni all π gael ffracsiwn parhaus cyfnodol. Mae mathemategwyr wedi darganfod sawl ffracsiynau parhaus cyffredinol sy'n amlygu patrymau amlwg, e.e.[19]
Hanes
[golygu | golygu cod]Y gwreiddiau
[golygu | golygu cod]Roedd y brasamcanion mwyaf adnabyddus o π yn dyddio i fileniwm cynat CC, ac yn gywir i ddau le degol; aeth y mathemategwyt Tsieineaidd ati i wella ar hyn, yn benodol erbyn canol y mileniwm cyntaf, i gywirdeb o saith lle degol. Ar ôl hyn, ni wnaed unrhyw gynnydd pellach tan ddiwedd y cyfnod canoloesol (tua mil o flynyddoedd we3dyn).
Mae'r brasamcanion ysgrifenedig cynharaf o π i'w cael ym Mabilon a'r Aifft, o fewn un y cant o'r gwir werth.[20][21][20] Ym Mabilon, ceir tabled clai dyddiedig 1900–1600 CC sy'n ymddangos ei fod yn trin π fel 25/8 = 3.125.[22] Yn yr Aifft, mae gan Papyrus Rhind, a ddyddiwyd i tua 1650 CC (ac a gopïwyd o ddogfen dyddiedig i 1850 CC) fformiwla ar gyfer arwynebedd cylch sy'n trin π fel (16/9)2 ≈ 3.16.[7]
Mae cyfrifiadau seryddol yn y Shatapatha Brahmana (tua 4g CC) yn defnyddio brasamcan ffracsiynol o 339/108 ≈ 3.139 (cywirdeb o 9×10−4). Ceir f CC sy'n trin πfel √10 ≈ 3.1622.[7]
Cyfnod brasamcanu'r polygon
[golygu | golygu cod]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/220px-Archimedes_pi.svg.png)
Roedd yr algorithm cyntaf a gofnodwyd ar gyfer cyfrifo gwerth π yn drwyadl yn ddull geometregol gan ddefnyddio polygonau, ac a ddyfeisiwyd oddeutu 250 CC gan y mathemategydd Groegaidd Archimedes.[7] Roedd yr algorithm polygonal hwn yn frenin ar y pwnc am dros 1,000 o flynyddoedd, ac o ganlyniad gelwir π weithiau fel "cysonyn Archimedes".[7] Cyfrifodd Archimedes ffiniau uchaf ac isaf π trwy dynnu hecsagon rheolaidd y tu mewn a'r tu allan i gylch, a dyblu nifer yr ochrau yn olynol nes iddo gyrraedd polygon rheolaidd 96 ochr. Trwy gyfrifo perimedrau'r polygonau hyn, profodd fod 223/71 < π < 22/7 (hy 3.1408 < π < 3.1429.[23] Man uchaf Archimedes oedd 22/7 a gall fod hyn wedi wedi arwain mathemategwyr eraill at gred boblogaidd gyffredinol bod π yn hafal i 22/7.[7]
Tua 150 OC, noddodd y gwyddonydd Groegaidd-Rufeinig Ptolemi, yn ei Almagest, werth π fel 3.1416, y gallai fod wedi'i gael gan Archimedes neu gan Apollonius o Perga.[7][24] Cyrhaeddodd y mathemategwyr a oedd yn defnyddio algorithmau polygonaidd 39 digid o π ym 1630, record a dorrwyd yn 1699 pan ddefnyddiwyd cyfresi anfeidrol i gyrraedd 71 digid.[25]
![A painting of a man studying](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Archimedes_by_Giuseppe_Nogari.png/220px-Archimedes_by_Giuseppe_Nogari.png)
Yn y 3g CC, yn y Tsieina hynafol, cyfrifwyd π yn 142/45, sef 3.1556.[26] Tua 265 OC, creodd y mathemategydd Wei Kingdom Liu Hui algorithm ailadroddol wedi'i seilio ar bolygonau a'i ddefnyddio gyda pholygon 3,072 ochr i gael gwerth π yn 3.1416.[27][7] Yn ddiweddarach dyfeisiodd Liu ddull cyflymach o gyfrifo π a chael gwerth o 3.14 gyda pholygon 96 ochr, trwy fanteisio ar y ffaith bod y gwahaniaethau ym maes polygonau olynol yn ffurfio cyfres geometrig â ffactor o 4.[27]
Tua 480 OC cyfrifodd y mathemategydd Tsieineaidd Zu Chongzhi, fod 3.1415926 < π < 3.1415927 ac awgrymodd y brasamcanion π ≈ 355/113 a π ≈ 22/7 = 3.142857142857..., a alwodd yn Milü ('cymhareb agos") ac Yuelü ("cymhareb fras"), yn y drefn honno, gan ddefnyddio algorithm Liu Hui i gymhwyso i polygon 12,288 o ochrau. Mewn cymhariaeth, nid oedd yr iaith Saesneg eto'n bodoli yn y cyfnod hwn. Gyda gwerth cywir ar gyfer ei saith digid degol cyntaf, roedd y gwerth hwn yn parhau i fod y brasamcan mwyaf cywir o π am yr 800 mlynedd nesaf.[7]
Defnyddiodd y seryddwr Indiaidd Aryabhata werth o 3.1416 yn ei Āryabhaṭīya (499 OC).[28]
Cyfrifodd Ffibonacci yn 1220 y gwerth o 3.1418 gan ddefnyddio dull polygonal, yn annibynnol ar Archimedes.[29] Mae'n debyg bod yr awdur Eidalaidd Dante wedi defnyddio'r gwerth 3+√2/10 ≈ 3.14142.[29]
Mabwysiadu'r symbol π
[golygu | golygu cod]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/William_Jones%2C_the_Mathematician.jpg/220px-William_Jones%2C_the_Mathematician.jpg)
Yn y defnydd cynharaf, roedd y llythyren Roegaidd π yn dalfyriad o'r gair Groeg am gyrion (περιφέρεια, sef y wal o amgylch y cae),[31] ac fe'i cyfunwyd mewn cymarebau â δ (delta, ar gyfer diamedr) neu ρ (ar gyfer radiws) i ffurfio cysonion cylch.[32][33][34] Cyn hynny, roedd mathemategwyr weithiau'n defnyddio llythrennau fel c neu p.[7] ) Y defnydd cyntaf a gofnodwyd i fynegi'r gymhareb cyrion a diamedr oedd yn rhifynnau 1647 a diweddarach o Clavis Mathematicae pan ddefnyddiodd yw William Oughtred " ".[35][7] Yn yr un modd, defnyddiodd Isaac Barrow " " i gynrychioli'r cyson 3.14 ...,[36] tra defnyddiai David Gregory " "i gynrychioli 6.28. ..[33][37]
Ond gan Gymro o blwyf Llanfihangel Tre'r Beirdd, ar Ynys Môn y cafwyd y defnydd cyntaf o'r llythyren Roegaidd π <u>yn unig</u> i gynrychioli'r gymhareb cylchedd cylch i'w ddiamedr, sef William Jones yn ei waith yn 1706 Synopsis Palmariorum Matheseos; neu Gyflwyniad Newydd i Fathemateg.[30] [7] Mae'r llythyren Roegaidd yn ymddangos gyntaf yn yr ymadrodd "1/2 cylchred (π)" wrth iddo drafod cylch â radiws o un.[7] Mabwysiadwyd nodiant Jones o dipyn i beth gan fathemategwyr eraill, gyda'r nodiant ffracsiwn yn dal i gael ei ddefnyddio mor hwyr â 1767 gan rai.[32][38]
Dechreuodd Euler ddefnyddio'r un llythyren Roegaidd hon, gan ddilyn yn sodlau William Jones yn ei Draethawd yn Esbonio Priodweddau Aer, 1727 , er iddo ddefnyddio π = 6.28..., cymhareb y gylchred i'r radiws, yn yr ysgrifen hon a rhywfaint yn ddiweddarach.[39] Defnyddiodd Euler gyntaf π = 3.14... yn ei waith Mechanica yn 1736, a pharhaodd yn ei waith Introductio in analysin infinitorum pan ysgrifennodd: "er mwyn crynodeb, byddwn yn ysgrifennu'r rhif hwn fel π ; felly mae π yn hafal i hanner cylchedd cylch radiws 1").[40] Ymledodd y defnydd o'r llythyren Roegaidd yn gyflym, a mabwysiadwyd yr arfer yn gyffredinol wedi hynny yn y byd Gorllewinol,[7] er bod y diffiniad yn dal i amrywio rhwng 3.14 ... a 6.28 ... hyd at 1761.[41]
Yr ymchwil fodern am fwy o ddigidau
[golygu | golygu cod]Cyfnod cyfrifiadur ac algorithmau ailadroddol
[golygu | golygu cod]![Formal photo of a balding man wearing a suit](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif/220px-JohnvonNeumann-LosAlamos.gif)
Ffrwydrodd datblygiad cyfrifiaduron yng nghanol yr 20g a chafwyd sawl helfa am ddigidau pellach o π. Cyrhaeddodd y mathemategwyr John Wrench a Levi Smith 1,120 digid ym 1949 gan ddefnyddio cyfrifiannell desg.[42] Gan ddefnyddio cyfres anfeidrol tangiad gwrthdro (arctan), cyflawnodd tîm dan arweiniad George Reitwiesner a John von Neumann yr un flwyddyn 2,037 o ddigidau gyda chyfrifiad a gymerodd 70 awr o amser cyfrifiadur, ar gyfrifiadur ENIAC.[43][44] A thorwyd y record, a oedd bob amser yn defnyddio cyfres arctan, dro ar ôl tro: 7,480 digid ym 1957; 10,000 digid ym 1958; 100,000 o ddigidau ym 1961.. nes cyrraedd 1 miliwn o ddigidau ym 1973.[43]
Cyflymodd dau ddatblygiad ychwanegol tua 1980 unwaith eto'r gallu i gyfrifo π . Yn gyntaf, darganfod algorithmau ailadroddol newydd ar gyfer cyfrifo π, a oedd yn llawer cyflymach na'r gyfres anfeidrol; ac yn ail, dyfeisio algorithmau lluosi cyflym a allai luosi niferoedd enfawr yn gyflym iawn.[45] Roedd algorithmau o'r fath yn arbennig o bwysig gan fod y cyfrifiadur yn cael ei neilltuo i luosi, y rhan fwyaf o'r amser.[7] Maent yn cynnwys algorithm Karatsuba, lluosi Toom-Cook, a dulliau trawsnewid Fourier.[46]
Cyhoeddwyd yr algorithmau ailadroddol yn annibynnol ym 1975-1976 gan y ffisegydd Eugene Salamin a'r gwyddonydd Richard Brent.[7] Mae'r rhain yn osgoi dibynnu ar gyfresi anfeidrol gan eu bod yn ailadrodd cyfrifiad penodol, pob iteriad gan ddefnyddio'r allbynnau o gamau blaenorol fel mewnbynnau, ac yn cynhyrchu canlyniad ym mhob cam sy'n cydgyfeirio i'r gwerth a ddymunir. Dyfeisiwyd y dull mewn gwirionedd dros 160 mlynedd ynghynt gan Carl Friedrich Gauss, yn yr hyn a elwir bellach yn ddull cymedrig rhifyddol-geometrig (arithmetic–geometric mean method neu'r dull CCB) neu weithiau algorithm Gauss-Legendre.[7] Cafodd ei haddasu gan Salamin a Brent, ac felly cyfeirir ato hefyd fel algorithm Brent-Salamin.
Defnyddiwyd yr algorithmau ailadroddol yn helaeth ar ôl 1980 oherwydd eu bod yn gyflymach nag algorithmau cyfres anfeidrol: tra bo cyfresi anfeidrol fel rheol yn cynyddu nifer y digidau cywir yn ychwanegol mewn termau olynol, mae algorithmau ailadroddol yn lluosi nifer y digidau cywir ar bob cam yn gyffredinol. Er enghraifft, mae'r algorithm Brent-Salamin yn dyblu nifer y digidau ym mhob iteriad. Ym 1984, cynhyrchodd y brodyr John a Peter Borwein algorithm ailadroddol sy'n cynyddu bedair gwaith nifer y digidau ym mhob cam; ac ym 1987, un sy'n cynyddu nifer y digidau bum gwaith ym mhob cam.[47] Defnyddiwyd dulliau ailadroddol hefyd gan y mathemategydd Siapaneaidd Yasumasa Kanada i osod sawl record ar gyfrifo π rhwng 1995 a 2002.[48] Daw'r cydgyfeiriant cyflym hwn am bris: mae'r algorithmau ailadroddol yn gofyn am lawer mwy o gof cyfrifiadurol na chyfresi anfeidrol.[48]
Rôl a nodweddion mewn mathemateg
[golygu | golygu cod]Oherwydd bod gan π gysylltiad agos â'r cylch, mae i'w gael mewn sawl fformiwla o feysydd geometreg a thrigonometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, sfferau neu elipsau. Mae canghennau eraill gwyddoniaeth, megis ystadegau, ffiseg, dadansoddiad Fourier, a theori rhif, hefyd yn cynnwys π yn rhai o'u fformiwlâu pwysig.
Geometreg a thrigonometreg
[golygu | golygu cod]![A diagram of a circle with a square coving the circle's upper right quadrant.](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Circle_Area.svg/220px-Circle_Area.svg.png)
Gweler isod rhai o'r fformiwlâu mwyaf cyffredin sy'n ymwenud a π.[49]
- Cylchedd cylch â radiws r yw 2πr.
- Arwynebedd y cylch â radiws r yw πr2.
- Cyfaint sffêr â radiws r yw 4/3πr3
- Arwynebedd sffêr â radiws r yw 4πr2.
Mae'r fformiwlâu uchod yn achosion arbennig o gyfaint y bêl <i id="mwBWQ">n</i>-dimensiwn ac arwynebedd ei ffin, y sffêr dimensiwn (<i id="mwBWY">n</i> −1), a roddir isod.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Reuleaux_supporting_lines.svg/220px-Reuleaux_supporting_lines.svg.png)
Ar wahân i gylchoedd, ceir hefyd cromliniau eraill o led cyson. Yn ôl theorem Barbier, mae gan bob cromlin o led cyson berimedr π wedi'i luosi gyda'i led.[50] Mae gan y triongl Reuleaux (a ffurfiwyd trwy groesffordd tri chylch, pob un wedi'i ganoli lle mae'r ddau gylch arall yn croesi[51] ) yr ardal leiaf bosibl ar gyfer ei lled a gan y cylch mae'r mwyaf.[52]
Yn nodweddiadol mae gan integrynnau pendant sy'n disgrifio cylchedd, arwynebedd neu gyfaint siapiau a gynhyrchir gan gylchoedd werthoedd sy'n cynnwys π. Er enghraifft, rhoddir integryn sy'n nodi hanner arwynebedd cylch radiws un gan:[53]
Yn yr integryn yma mae'r ffwythiant √1 − x2 yn cynrychioli hanner uchaf cylch (mae'r ail isradd yn ganlyniad i'r theorem Pythagoras), a'r integryn Nodyn:Intmath yn cyfrifo'r arwynebedd rhwng yr hanner cylch hwnnw a'r echelin x.
![Diagram showing graphs of functions](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/220px-Sine_cosine_one_period.svg.png)
Mae'r ffwythiannau trigonometrig yn dibynnu ar onglau, ac yn gyffredinol mae mathemategwyr yn defnyddio radianau fel unedau mesur. Mae π yn chwarae rhan bwysig mewn onglau, a fesurir mewn radianau, a ddiffinnir fel bod cylch cyflawn yn rhychwantu ongl o 2π radian.[54] Mae'r ongl o 180° yn hafal i π radian, ac 1 ° = π/180 radian.[54]
Cyfeiriadau
[golygu | golygu cod]- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weisstein, Eric W. "Pi". mathworld.wolfram.com (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-10.
- ↑ Bogart, Steven. "What Is Pi, and How Did It Originate?". Scientific American (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-10.
- ↑ Andrews, Askey & Roy 1999, t. 59.
- ↑ Gupta 1992.
- ↑ "πe trillion digits of π". pi2e.ch. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 6 December 2016.
- ↑ Haruka Iwao, Emma (14 Mawrth 2019). "Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud". Google Cloud Platform. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 19 Hydref 2019. Cyrchwyd 12 April 2019.
- ↑ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 Arndt & Haenel 2006.
- ↑ Bailey et al. 1997.
- ↑ Y Cymro arlein; adalwyd 7 Mawrth 2017.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, t. 8.
- ↑ Apostol, Tom (1967). Calculus, volume 1 (arg. 2nd). Wiley.. p. 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on p. 529.
- ↑ Remmert 2012.
- ↑ "pi". Dictionary.reference.com. 2 Mawrth 1993. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 28 Gorffennaf 2014. Cyrchwyd 18 Mehefin 2012.
- ↑ Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 29 Medi 2000. Cyrchwyd 4 Tachwedd 2007.
- ↑ Posamentier & Lehmann 2004
- ↑ Eymard & Lafon 1999
- ↑ Beckmann 1989Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 978-0-7876-3933-4. Cyrchwyd 19 December 2019., p. 185.
- ↑ Eymard & Lafon 1999
- ↑ Lange, L.J. (May 1999). "An Elegant Continued Fraction for π". The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456.
- ↑ 20.0 20.1 Rossi 2004.
- ↑ Legon, J.A.R. On Pyramid Dimensions and Proportions (1991) Discussions in Egyptology (20) 25–34 "Egyptian Pyramid Proportions". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 18 Gorffennaf 2011. Cyrchwyd 7 Mehefin 2011.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, t. 167.
- ↑ "The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central". Mathworks.com. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 25 Chwefror 2013. Cyrchwyd 12 Mawrth 2013.
- ↑ Boyer & Merzbach 1991.
- ↑ Arndt & Haenel 2006. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, tt. 176–177.
- ↑ 27.0 27.1 Boyer & Merzbach 1991
- ↑ Arndt & Haenel 2006, t. 179.
- ↑ 29.0 29.1 Arndt & Haenel 2006, t. 180.
- ↑ 30.0 30.1 Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos : or, a New Introduction to the Mathematics (yn Saesneg). tt. 243, 263. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
- ↑ Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (yn Lladin). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson.
δ.π :: semidiameter. semiperipheria
- ↑ 32.0 32.1 Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations: Vol. II (yn Saesneg). Cosimo, Inc. tt. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1.
the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier
- ↑ 33.0 33.1 Smith, David E. (1958). History of Mathematics (yn Saesneg). Courier Corporation. t. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.
- ↑ Archibald, R.C. (1921). "Historical Notes on the Relation ". The American Mathematical Monthly 28 (3): 116–121. doi:10.2307/2972388. JSTOR 2972388. "It is noticeable that these letters are never used separately, that is, π is not used for 'Semiperipheria'"
- ↑ See, for example, Oughtred, William (1648). Clavis Mathematicæ [The key to mathematics] (yn Lladin). London: Thomas Harper. t. 69. (English translation: Oughtred, William (1694). Key of the Mathematics (yn Saesneg). J. Salusbury.)
- ↑ Barrow, Isaac (1860). "Lecture XXIV". In Whewell, William (gol.). The mathematical works of Isaac Barrow (yn Lladin). Harvard University. Cambridge University press. tt. 381.
- ↑ Gregorii, Davidis (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae" (yn la). Philosophical Transactions 19: 637–652. Bibcode 1695RSPT...19..637G. doi:10.1098/rstl.1695.0114. JSTOR 102382.
- ↑ Segner, Joannes Andreas (1756). Cursus Mathematicus (yn Lladin). Halae Magdeburgicae. t. 282. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
- ↑ Euler, Leonhard (1747). Henry, Charles (gol.). Lettres inédites d'Euler à d'Alembert (yn Ffrangeg). 19 (cyhoeddwyd 1886). t. 139. E858.
Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1
English translation in Cajori, Florian (1913). "History of the Exponential and Logarithmic Concepts". The American Mathematical Monthly 20 (3): 75–84. doi:10.2307/2973441. JSTOR 2973441. "Letting π be the circumference (!) of a circle of unit radius" - ↑ Euler, Leonhard (1707–1783) (1922). Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio (yn Lladin). Lipsae: B.G. Teubneri. tt. 133–134. E101. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
- ↑ Segner, Johann Andreas von (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (yn Lladin). Renger. t. 374.
Si autem π notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt 2
- ↑ Arndt & Haenel 2006, t. 205.
- ↑ 43.0 43.1 Arndt & Haenel 2006, t. 197.
- ↑ Reitwiesner 1950.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, tt. 15–17.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, tt. 132, 140.
- ↑ Arndt & Haenel 2006, tt. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
- ↑ 48.0 48.1 Bailey, David H. (16 Mai 2003). "Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation" (PDF). Archifwyd o'r gwreiddiol (PDF) ar 15 April 2012. Cyrchwyd 12 April 2012.
- ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tt. 200, 209
- ↑ Lay, Steven R. (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, Theorem 11.11, pp. 81–82, ISBN 9780486458038, https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA81.
- ↑ Gardner, Martin (1991). "Chapter 18: Curves of Constant Width". The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press. tt. 212–221. ISBN 0-226-28256-2.
- ↑ Rabinowitz, Stanley (1997). "A polynomial curve of constant width". Missouri Journal of Mathematical Sciences 9 (1): 23–27. doi:10.35834/1997/0901023. MR 1455287. http://stanleyrabinowitz.com/bibliography/polynomialConstantWidth.pdf.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Semicircle". MathWorld.
- ↑ 54.0 54.1 Ayers 1964, t. 60