Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pikas katseseerias, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5.
Olgu
juhuslik suurus tõenäosusruumist
, siis juhusliku suuruse
keskväärtus
(või
) on defineeritud Lebesgue'i integraalina:
.
Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral).
Kui juhuslikul suurusel
leidub tihedusfunktsioon
, siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt:
.
Kui juhuslik suurus
on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega
,
, ... ja tõenäosustega
,
, ... (kusjuures
tähistab väärtuse
realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse
keskväärtust saab arvutada loenduva summana:
.
Kui suuruse
väärtusi on lõplik arv
(ehk neid väärtusi on
tükki:
,
, ...,
), siis
.
Olgu
ja
keskväärtust omavad juhuslikud suurused.
Kui
kehtib alati (st
), siis ka
.
iga reaalarvulise
ja
korral. Muu hulgas
,
.
Kui
ja
on sõltumatud, siis
.
Üldjuhul ei pruugi see kehtida.
Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 (
), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis
,
kus
tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus,
ja
, nagu eelnevalt kirjeldatud.
Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks
ja
, siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.)
Olgu juhuslik suurus
eksponentjaotusest parameetriga
, st tema tihedusfunktsioon on
, kus
. Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks
![{\displaystyle =(-xe^{-\lambda x})\operatorname {\bigg |} _{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }(-e^{-\lambda x})\operatorname {d} x=0+\int _{0}^{\infty }{-{1} \over {\lambda }}e^{-\lambda x}\operatorname {d} (-\lambda x)=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4452bd73e8fe32a99a0fec22ce42fae7403a1ea5)
.