Asymptootti
Asymptootti on suora tai käyrä A, jota toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa.[1] On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Asymptote02_vectorial.svg/320px-Asymptote02_vectorial.svg.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/1-over-x_alternative.png/320px-1-over-x_alternative.png)
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/1-over-x-plus-x.png/320px-1-over-x-plus-x.png)
Asymptootit ja funktion kuvaaja
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:
Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti, jos
Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtä suuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu, kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.
Huomaa, että jos
on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Asymptote03.svg/400px-Asymptote03.svg.png)
Suora x=a on funktion f pystysuora asymptootti, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:
Intuitiivisesti jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommaltakummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.
Esimerkki asymptootista löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit x = 0 ja y = 0.
Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota
Kun , f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka .
Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina ovat y-akseli ja suora y = x.
Jos y = m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos
Toisia merkityksiä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x), kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:
- f(x) − g(x) → 0.
- f(x) / g(x) → 1.
- f(x) / g(x) → a ≠ 0.
- f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 136–137. , 2003.
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.