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Classe trace

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En mathématiques, un opérateur de classe trace, ou opérateur à trace, est un opérateur compact pour lequel on peut définir une trace au sens de l’algèbre linéaire, qui est finie et ne dépend pas de la base.

Définition

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En s’inspirant de la définition dans le cas de la dimension finie, un opérateur borné A sur un espace de Hilbert séparable est dit de classe trace si dans une certaine base hilbertienne {ek}k (et donc dans toutes) de H, la série à termes positifs suivante converge

où (A* A)1/2 désigne la racine carrée de l'opérateur positif (en) A* A.

Dans ce cas, la somme

est absolument convergente et ne dépend pas du choix de la base orthonormée. Ce nombre est appelé trace de A. Quand H est de dimension finie, on retombe sur la trace usuelle.

Par extension, si A est un opérateur positif, on peut définir sa trace, quitte à ce qu’elle soit infinie, comme la série à terme positifs

Propriétés

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  • Si A est positif et auto-adjoint, A est de classe trace si et seulement si Tr(A) < . Ainsi, un opérateur autoadjoint est de classe trace si et seulement si ses parties positive et négative sont de classe trace.
  • La Trace est une forme linéaire sur l’ensemble des opérateurs de classe trace, i.e.La forme bilinéairedéfinit un produit scalaire sur les opérateurs de classe trace. La norme qui y est associée est appelée la norme de Hilbert-Schmidt. Le complété des opérateurs de classe trace pour cette norme forme l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt (en). Le point ci-dessous prouve que tous les opérateurs à trace sont de Hilbert-Schmidt. Cependant, tout comme certaines suites de carré sommable ne sont pas sommables, la réciproque est fausse et certains opérateurs de Hilbert-Schmidt n'admettent pas une trace finie.
  • Si est borné et est de classe trace, et sont aussi de classe trace et[1]De plus et sous les mêmes hypothèses,
  • Si est de classe trace, on peut définir le déterminant de Fredholm de  :où les sont les valeurs propres de . La condition de classe trace nous assure que le produit converge. Il nous garantit aussi que est inversible si et seulement si

Théorème de Lidskii

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Soit un opérateur de classe trace sur un Hilbert séparable , et soient ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Le théorème de Lidskii[2] (dû à Victor Lidskii (ru)) veut que

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trace class » (voir la liste des auteurs).
  1. Jacques Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, Gauthier-Villars, , p. 104, rééd. J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-012-5).
  2. (en) Barry Simon, Trace Ideals and Their Applications, AMS, , 2e éd. (lire en ligne), p. 32.

Articles connexes

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