Courbe de Lissajous
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La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.
Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.
Définition
[modifier | modifier le code]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Lissajous_figure_scope_3.jpg/170px-Lissajous_figure_scope_3.jpg)
Une courbe de Lissajous peut toujours être définie par l'équation paramétrique suivante :
- où et .
Le nombre n est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme et l'équation paramétrique de la courbe devient :
- , pour où et .
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [–a, a]×[–b ,b].
- Si n est rationnel:
- la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si pour p impair ou pour p pair.
- la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si pour p impair ou pour p pair.
- Si n est un entier pair et , ou si n est un entier impair et , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev.
Cas particuliers
[modifier | modifier le code]- Si n = 1, la courbe est une ellipse.
- Si a = b et , cette ellipse est un cercle.
- Si , cette ellipse est un segment de droite.
- Si a = 2b et n = q = 2 (donc p = 1), la courbe est une besace.
- Si , cette besace est une portion de parabole.
- Si , cette besace est une lemniscate de Gerono.
Voici quelques exemples de tracés avec et a = b.
- Différents exemples de courbes de Lissajous
-
p = 1, q = 2
-
p = 1, q = 3
-
p = 1, q = 6
-
p = 2, q = 3
-
p = 3, q = 4
-
p = 3, q = 20
Liens avec d'autres courbes
[modifier | modifier le code]Les courbes de Lissajous sont des projections de couronnes sinusoïdales sur un plan parallèle à l'axe de symétrie.
Applications
[modifier | modifier le code]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Lissajous-Figur_--_2020_--_7766.jpg/220px-Lissajous-Figur_--_2020_--_7766.jpg)
Les courbes de Lissajous ont différentes applications :
- Sur un oscilloscope analogique, le mode XY (Abscisse (composante horizontale) et Ordonnée (composante verticale)) permet notamment de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.
- Les télescopes spatiaux qui orbitent autour des points de Lagrange, comme notamment le télescope Herschel placé au point L2, décrivent une orbite de Lissajous.
Dans la culture populaire
[modifier | modifier le code]Cinéma
[modifier | modifier le code]- Des courbes de Lissajous étaient projetés sur des oscilloscopes afin de simuler des équipements de haute technologie dans les films et séries de science-fiction dans les années 1960 et 1970[1].
- La séquence titre du film d'Alfred Hitchcock de 1958 Vertigo, créée par John Whitney, intègre des courbes de Lissajous[2].
Logos d'entreprise
[modifier | modifier le code]Plusieurs entreprises utilisent des courbes de Lissajous dans le design de leurs logos :
- la Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π2, ψ = 0)[3]
- le laboratoire Lincoln du MIT (a = 3, b = 4, δ = π2, ψ = 0)[4]
- l'Université d'électro-communication du Japon (a = 5, b = 6, δ = π2, ψ = 0).[réf. souhaitée]
- l'application vidéo Movies Anywhere de Disney utilise une courbe stylisée
- le logo de Meta Platforms est une courbe de Lissajous, choisie pour évoquer la forme d'un M majuscule (a = 1, b = -2, δ = π20, ψ = 0).
Art moderne
[modifier | modifier le code]L'artiste dadaïste Max Ernst a peint des courbes de Lissajous directement en suspendant un pot de peinture percé au-dessus du canevas[5].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- A long way from Lissajous figures, Reed Business Information, (ISSN 0262-4079, lire en ligne), p. 77
- Tom McCormack, « Did 'Vertigo' Introduce Computer Graphics to Cinema? », sur rhizome.org, (consulté le )
- (en) « The ABC's of Lissajous figures », sur abc.net.au, Australian Broadcasting Corporation
- (en) « Lincoln Laboratory Logo », sur ll.mit.edu, Lincoln Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, (consulté le )
- (en) M. King, « From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science. », (consulté le ).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Julio Castiñeira Merino, « Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials », The College Mathematics Journal (en), vol. 32, no 2, , p. 122-127 (lire en ligne)
- Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, (1re éd. 1905-1915) (lire en ligne), chap. III.12 (« Sur les courbes de Lissajous »), p. 225-230
Liens externes
[modifier | modifier le code]- Robert Ferréol et Jacques Mandonnet, « Courbe de Lissajous », sur mathcurve.com,
- (en) Lissajous tuning forks: the standardization of musical sound dans le site Whipple Museum of the History of Science.
- (en) Lissajous Interactive
- (en) Jules Antoine Lissajous.
- Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :