Aller au contenu

Courbe de Lissajous

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Courbe de Lissajous.
Un cercle est une figure de Lissajous.

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition

[modifier | modifier le code]
Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope.

Une courbe de Lissajous peut toujours être définie par l'équation paramétrique suivante :

et .

Le nombre n est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme et l'équation paramétrique de la courbe devient :

, pour et .

Propriétés

[modifier | modifier le code]
  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [–a, a]×[–b ,b].
  • Si n est rationnel:
    • la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si pour p impair ou pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si pour p impair ou pour p pair.
  • Si n est un entier pair et , ou si n est un entier impair et , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev.

Cas particuliers

[modifier | modifier le code]
  • Si n = 1, la courbe est une ellipse.
    • Si a = b et , cette ellipse est un cercle.
    • Si , cette ellipse est un segment de droite.
  • Si a = 2b et n = q = 2 (donc p = 1), la courbe est une besace.
    • Si , cette besace est une portion de parabole.
    • Si , cette besace est une lemniscate de Gerono.

Voici quelques exemples de tracés avec et a = b.

Liens avec d'autres courbes

[modifier | modifier le code]

Les courbes de Lissajous sont des projections de couronnes sinusoïdales sur un plan parallèle à l'axe de symétrie.

Applications

[modifier | modifier le code]
Traces de lumière en forme de courbe de Lissajous.

Les courbes de Lissajous ont différentes applications :

Dans la culture populaire

[modifier | modifier le code]
Animation d'une courbe de Lissajous simple
  • Des courbes de Lissajous étaient projetés sur des oscilloscopes afin de simuler des équipements de haute technologie dans les films et séries de science-fiction dans les années 1960 et 1970[1].

Logos d'entreprise

[modifier | modifier le code]

Plusieurs entreprises utilisent des courbes de Lissajous dans le design de leurs logos :

Art moderne

[modifier | modifier le code]

L'artiste dadaïste Max Ernst a peint des courbes de Lissajous directement en suspendant un pot de peinture percé au-dessus du canevas[5].

Notes et références

[modifier | modifier le code]
  1. A long way from Lissajous figures, Reed Business Information, (ISSN 0262-4079, lire en ligne), p. 77
  2. Tom McCormack, « Did 'Vertigo' Introduce Computer Graphics to Cinema? », sur rhizome.org, (consulté le )
  3. (en) « The ABC's of Lissajous figures », sur abc.net.au, Australian Broadcasting Corporation
  4. (en) « Lincoln Laboratory Logo », sur ll.mit.edu, Lincoln Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, (consulté le )
  5. (en) M. King, « From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science. », (consulté le ).

Sur les autres projets Wikimedia :

Bibliographie

[modifier | modifier le code]

Liens externes

[modifier | modifier le code]