Szorzás
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/220px-Three_by_Four.svg.png)
Szorzás vagy sokszorozás, a számtani alapműveletek egyike. Ha a és b pozitív egész számokat jelentenek, akkor b-t megszorozni a-val annyit tesz, mint alkotni a
összeget, amelyet röviden ab-vel szokás megjelölni. A b számot, amelyet ezen összeg előállítása végett a-szor tettünk összeadandónak, sokszorozandónak vagy szorzandónak, az a számot sokszorozónak vagy szorzónak, az eredményül nyert összeget pedig szorzatnak nevezzük.
Bebizonyítható, hogy
- ab = ba, azaz a szorzás kommutatív.
- (ab)c = a(bc), azaz a szorzás asszociatív.
- a(b + c) = ab + ac, azaz a szorzás disztributív az összeadásra és a kivonásra nézve.
Minthogy a szorzandó felcserélhető a szorzóval anélkül, hogy a szorzat értéke ennek következtében megváltoznék, még az elnevezésben sem szükséges azokat egymástól megkülönböztetni, és ezért mind a kettőt a szorzat tényezőinek nevezzük. Több pozitív egész szám szorzatát úgy alkotjuk, hogy az elsőt megszorozzuk a másodikkal, a nyert szorzatot a harmadikkal stb:
A kommutativitás miatt az ilyen szorzat értéke is független a megadott tényezők sorrendjétől.
A szorzás megfordítása az osztás.
Ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell. Különféle számhalmazokon úgy szokás definiálni, hogy a szorzás jelentése ne változzon, ha az újabb számhalmazt a régebbi kibővítésének tekintjük. A szorzás természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.
Általánosítás
[szerkesztés]A szorzás kétváltozós műveletként általánosítható más algebrai struktúrákra, például mátrix- és függvényhalmazokra is. A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de nem kommutatív.
Jelölések
[szerkesztés]A szorzást számok esetén szorzóponttal vagy szorzókereszttel jelölik:
- (Kétszer három az hat)
vagy
- Egymás után írás; ez az algebrában szokásos, és mindenütt, ahol betűjelölések szerepelnek. Például xy vagy 5x.
- Vektorok esetén kétféle szorzást is értelmeznek: a skaláris és a vektoriális szorzást. A skaláris szorzatot szorzópont, a vektoriális szorzatot szorzókereszt jelöli.
- Programnyelvekben a * csillag a szorzójel. Ezt azért választották így, mert minden billentyűzeten rajta van, és jobban látszik a régi képernyőkön. Ez a FORTRAN programozási nyelvből ered.
Algoritmusok
[szerkesztés]Az írásbeli szorzás szokásos módja a szorzótábla ismeretét igényli, de van olyan módszer is, ami anélkül is működik.
A nagy számok kézzel való szorzása időigényes és sok hibalehetőséget hordoz magában. Ennek megkönnyítésére használják a tízes alapú logaritmust. Logarléccel három számjegyes pontossággal lehet szorozni. A huszadik század elején a mechanikus számológépek, mint például a Marchant 10 számjegyes pontosságot is lehetővé tettek. A modern elektromos számológépek és a számítógépek nagyban csökkentették a kézi számítások iránti igényt.
Történelmi algoritmusok
[szerkesztés]Különböző módszerek maradtak fenn az ókori Egyiptomból, Babilonból, Görögországból, az Indus-völgyből és Kínából.
Egyiptom
[szerkesztés]Az egyiptomi módszer a Jahmesz által írt Rhind-papirusz szerint sorozatos kétszerezésen, felezésen és összeadáson alapul. Például a 13 és a 21 összeszorzásához háromszor kétszerezték meg a 21-et:
, , , .
A 13-at háromszor elfelezték:
, marad ; , nem marad semmi; , marad az .
A szorzatot a megfelelő kétszerezések összegeként állították elő:
.
Babilon
[szerkesztés]Babilonban a hatvanas számrendszert használták, hasonlóan a mai tízes számrendszerhez. A szorzás a mai tízes számrendszerbeli szorzáshoz hasonlóan működött. Mivel nehéz emlékezni a szorzatra, ezért a babiloni matematikusok szorzótáblázatokat használtak. Ezek a táblák tartalmazták egy szám első húsz szorzatát, amit a szám tízszereseinek szorzatai követtek. Egy szorzás végrehajtásához, például az kiszámításához külön kellett összeszorozni 50-nel és 3-mal, majd ezeket a szorzatokat összeadni.
Kína
[szerkesztés]A Zhou Pei Suan Ching (Kr.e. 300-nál korábbról) és Kilenc fejezet a matematika művészetéről matematikai könyvekben a számítások szavakkal vannak leírva. Ismert viszont, hogy az ókori kínai matematikusok abakuszt használtak a számítások elvégzéséhez.
Indus-völgy
[szerkesztés]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Gelosia_multiplication_45_256.png/250px-Gelosia_multiplication_45_256.png)
Az Indus-völgye korai hindu matematikusai számos intuitív módszert alkalmaztak a szorzásra. A számolásokat általában kis palatáblákon végezték.
Modern módszer
[szerkesztés]A modern módszer az arab számíráson és a tízes számrendszeren alapul. Brahmagupta módszert adott az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletére; ő írta le elsőként a modern módszert.
Henry Burchard Fine, a Princeton matematikaprofesszora szerint az indiaiak nemcsak a helyi értékes tízes számrendszert fedezték fel, hanem az ahhoz tartozó alapvető eljárásokat is.[1]
Szorzássorozat
[szerkesztés]Jelölés
[szerkesztés]A szorzássorozat jele a görög nagy pí Π betűből származik. Az Unicode-ban is megkülönböztetik ezt a két jelet: U+220F (∏) jelöli a szorzássorozat jelét, és U+03A0 (Π) a betűt. Ez a jelölés a következőt jelenti:
ahol az alsó index mutatja a futó változót, és annak alsó határát, míg a felső index a felső határt jelöli. A futó index az alsó határtól egyesével megy el egészen a felső határig. A szorzássorozat jele után következnek a tényezők, amik a futó index egymást követő értékeit behelyettesítve kaphatók.
Például
Olvasd: Produktum i=2-től 6-ig, zárójelben az 1+1/i egyenlő...
Ha az alsó határ egyenlő a felső határral, akkor a szorzat egy tényezős, és értéke ez a tényező. Ha az alsó határ nagyobb, mint a felső, akkor a szorzat üres, és értéke definíció szerint 1.
Végtelen szorzat
[szerkesztés]Végtelen sok tényező is összeszorozható, így végtelen szorzat keletkezik. A jelölésben a felső határt , az alsó határt jelölheti. A végtelen szorzat értéke
feltéve, hogy a határérték létezik.
A mindkét irányban végtelen szorzat értéke
feltéve, hogy a határértékek léteznek.
Értelmezés
[szerkesztés]Descartes-szorzat
[szerkesztés]A szorzás ismételt összeadásként való értelmezése egyenes utat biztosít a szorzás halmazelméleti értelmezéséhez a számosságok körében.
A kifejezésben a n másolatát adjuk össze. Ennek egyik módja az indexelés, ahol , így a diszjunkt példányait uniózzuk össze. Ez éppen az Descartes-szorzat. A természetes számok szorzásának tulajdonságai azonnal adódnak a Descartes-szorzás megfelelő tulajdonságaiból.
Peano-axiómák
[szerkesztés]Giuseppe Peano javasolta a Peano-axiómákon alapuló következő definíciót:[2]
ahol b′ jelöli b rákövetkezőjét. A többi Peano-axióma segítségével bizonyíthatók a szorzás ismert tulajdonságai.
Halmazelmélet
[szerkesztés]A halmazelmélet segítségével is lehetséges rekurzív definíciót adni a szorzásra, bár ez bonyolult. Ez a definíció visszanyúlik a Peano-féle definíciókhoz.
Geometria
[szerkesztés]A párhuzamos szelők tétele lehetőséget ad rá, hogy két adott hosszúságú szakasz hosszának szorzatával megegyező hosszúságú szakaszt szerkesszünk.
Különböző számkörök
[szerkesztés]A szám jelenthet mennyiséget (3 alma), sorszámot (a harmadik alma), vagy mértéket (3,5 méteres magasság). Ahogy a történelemben a matematika az ujjakon való számlálástól a kvantummechanikáig, úgy terjeszkedett a szorzás az egyre elvontabb számkörök és más matematikai objektumok (polinomok, mátrixok) felé.
Egész számok
[szerkesztés]Az egész számok szorzásának szabálya a természetes számok szorzásának szabályaiból és az előjelszabályból következik:
Ha az M és az N egész mindegyike pozitív, akkor egy olyan tömbben levő elemek számát jelöli, ahol minden oszlopban M, és minden sorban N elem van.
Az előjelszabály szerint
és
Ugyanez az előjelszabály érvényes a racionális és a valós számok szorzására.
Racionális számok
[szerkesztés]A törtek szorzásának szabálya: számlálót számlálóval, és nevezőt nevezővel szorzunk:
.
Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami hosszú és széles.
Valós számok
[szerkesztés]Két valós szám szorzatát határértékként adhatjuk meg: (x·y) az a valós szám, ami megkapható egy x-hez és egy y-hoz konvergáló sorozat megfelelő elemeinek összeszorzásával keletkezett újabb sorozat határértékeként. Képletekkel felírva ugyanez: ha és két sorozat, és
és
akkor
Pozitív valós számok esetében a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami x hosszú és y széles.
Komplex számok
[szerkesztés]A és a komplex számot az és az valós számpárokként tekintve és szorzata a következőképpen adódó komplex szám:
mert ha az i imaginárius egységgel írjuk fel
ahol kihasználtuk, hogy
Ez a szorzatkifejezés valós számokra egyszerűen -vel azonos, mivel valós számok esetében a b1 és b2 képzetes részek nullák.
Polinomok és mátrixok
[szerkesztés]A szorzás a számokon kívül polinomokra és mátrixokra is kiterjeszthető. A polinomok és adott n-re az n×n-es mátrixok gyűrűt alkotnak, ahol lehet összeadni, kivonni és szorozni. A polinomszorzás kommutatív, de a mátrixszorzás nem.
Absztrakt algebra
[szerkesztés]Csoportok
[szerkesztés]Sok halmaz a szorzással megfelel a csoport definíciójának. Ezek az asszociativitás, az egységelem és az inverzek megléte, és a halmaz zártsága a műveletekre.
Egy egyszerű példa a nem nulla valós számok halmaza. Az egységelem az 1. A nullát azért kell kizárni, mert nincs inverze: nincs olyan szám, amivel megszorozva a nullát 1-et kapunk. Ez a példa egy kommutatív, azaz Abel-csoport.
Nem minden csoport kommutatív. Nézzük például az adott méretű invertálható mátrixok csoportját egy adott test felett. Az egységelem az identitásmátrix, az inverzek a mátrixinverzek, és a szorzásra való zártság is teljesül. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, ezért ez a csoport nem kommutatív.
Az egész számok halmaza nem csoport a szorzásra, még a nulla nélkül sem, mert az 1-en és a -1-en kívül nincsenek inverzek.
A csoportelméletben a szorzást ponttal, vagy egymás mellé írással jelölik. Így az a és a b elemek szorzata ab vagy
Gyűrűk
[szerkesztés]A gyűrű egy másik algebrai struktúra, amiben szorozni lehet. Lehet még összeadni és kivonni is. A gyűrűkben nincs minden elemnek (multiplikatív) inverze: például a nullelemnek nincs, és ha a gyűrűben vannak nullosztók, akkor azoknak sincs. A legegyszerűbb példák gyűrűkre az egész számok, a polinomgyűrűk és a mátrixgyűrűk.
A kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűk az integritási tartományok. Erre a legegyszerűbb példa az egész számok. Itt megtörténhet, hogy az elemnek nincs inverze, de definiálható az egyenlet megoldásaként.
Ferdetestek
[szerkesztés]A ferdetestek olyan gyűrűk, amikben minden nem nulla elemnek van inverze. A legegyszerűbb nem kommutatív példát a kvaterniók adják. Ha a szorzás nem kommutatív, akkor nem lehet egyetlen osztásműveletet bevezetni, mivel
és az hányados nem egyértelmű.
Hatványozás
[szerkesztés]Az ismételt szorzás hatványozást eredményez. Például a hármas szorzat 2 harmadik hatványa, és -ként írható. Ebben a példában 2 az alap, és 3 a kitevő. Általában a felső indexbe írt kitevő jelöli azt, hogy az alap hány tényezős szorzatát kell venni.
Így az a alapot n-szer szorozzuk össze:
Lásd bővebben: Hatvány
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Henry B. Fine. The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically, (2nd edition, with corrections, 1907), page 90, http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf
- ↑ PlanetMath: Peano-aritmetika. [2007. augusztus 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. április 29.)
Források
[szerkesztés]- Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
- Bokor József (szerk.). A Pallas nagy lexikona. Arcanum: FolioNET (1893–1897, 1998.). ISBN 963 85923 2 X