In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.
Siano
e
due spazi di misura. Ad ogni funzione
definita su
e ad ogni
si può associare una funzione
definita in
nel seguente modo:
![{\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)\ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd3e26378fed7bdd30a5874559d7a3f579b70d0)
Analogamente si definisce per ogni
la funzione
tale che:
![{\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)\ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb6a06b26438bcbcf73409d6ce4ddec3c308a74)
Entrambe le funzioni sono rispettivamente
-misurabile e
-misurabile.[1]
Per ogni insieme aperto
si definisce inoltre:
![{\displaystyle Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c138520252c4e5ae2970ba0751065ed665a102)
Si dimostra che se:
![{\displaystyle \phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8d75c7b903d5c29e5667072f9e7e03a5fdc14e)
allora
è
-misurabile e
è
-misurabile, e si ha:[2]
![{\displaystyle \int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda \ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85777164bd19f67f19adbe17bdf923da6fb2e4f0)
Si definisce la misura
prodotto delle due misure
e
l'integrale:[3]
![{\displaystyle (\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da015d5d573f604bb3e5802d04a93402ad9f15e)
Tale misura è definita sullo spazio
ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:
![{\displaystyle (\mu \times \lambda )(B_{1}\times B_{2})=\mu (B_{1})\lambda (B_{2})\qquad \forall B_{1}\in {\mathfrak {F}},\ B_{2}\in {\mathfrak {G}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd6c02d761eea4344a874ee15fc7c81c7a9a7d7)
L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia
che
sono σ-finiti.
La misura di Borel sullo spazio euclideo
può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale
.
La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.
Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su
. Siano
e
due spazi di misura. Ad ogni funzione
che sia
-misurabile su
e ad ogni
si può associare una funzione
definita in
nel seguente modo:
![{\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)\ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd3e26378fed7bdd30a5874559d7a3f579b70d0)
Analogamente si definisce per ogni
la funzione
tale che:
![{\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)\ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb6a06b26438bcbcf73409d6ce4ddec3c308a74)
Se la funzione
è positiva e se:[4]
![{\displaystyle \phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be747477b5211d1a46664e17f1f052bab6f34d41)
allora
è
-misurabile e
è
-misurabile, inoltre:
![{\displaystyle \int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2439c390e2625b889b4af0a6efd999069e25af8f)
In modo equivalente si può scrivere:
![{\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\ }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6987fa9523e0246d2b4f81c6b63e6abc0512bcd)
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- Michel Loève, 8.2. Product measures and iterated integrals, in Probability Theory vol. I, 4th, Springer, 1977, pp. 135–137, ISBN 0-387-90210-4.
- Paul Halmos, 35. Product measures, in Measure theory, Springer, 1974, pp. 143–145, ISBN 0-387-90088-8.
- (EN) product measure, in PlanetMath.