等比数列(とうひすうれつ)または幾何数列(きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence)は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比(こうひ、英: common ratio)という。
例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比(この場合、12/4, 36/12, 108/36, …)が常に等しいならその数列は等比数列である。
等比数列 {an} について、(定義より公比は 0 でないため)公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる(特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある)。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。
![{\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f7aabe41817d3c9c35cb429b814dda7818486a)
a0 を初項とすれば、n 番目の項 an は以下のように表せる。
![{\displaystyle a_{n}=ar^{n}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4a8529e22df049965bc96e96424a259e76a47b)
これが等比数列の一般項である。
等比数列を漸化式で表すと、
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98f8527229cef36d2af1bde7d2a33fbb8360474)
となる。
公比 r が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、
![{\displaystyle a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aa67e8bddc83ed883fe4762fa96dcd8559f3c2)
となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。
公比が負の数列として、例えば 3, −6, 12, −24, … なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は
![{\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c514676326b2213128c98e2e617308d08f3fd98)
となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。
形式的に等比数列の一般項の対数をとると
![{\displaystyle \log a_{n}=\log a+n\log r}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ac67e2afc23ed76d376f01757980292ae6fc61)
となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。
等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ[注 1]。
等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。
![{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4661e78f800d9979ffbf094b05877991a8332920)
r ≠ 1 の場合、(1 − r) を掛けると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe781c8321f25441175e724db3cc2398e238122)
となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。
![{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191fa05b81b26400c11aba12a5a35c8fd4ecbaa0)
ただし、r = 1 の場合は
![{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b955ff998d76978563a8669e2063ca3218fb8ea3)
である。第 m 項から第 n 項までの和は
![{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c46338aee2e73467474b527a9da4539340911f)
等比数列の級数(総和)を等比級数または幾何級数と呼ぶ[1]。例えば初項 a, 公比 r の等比級数は以下のように書ける:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{k}+\dotsb {}\,.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34f704e5edd9f747dd38bbd15c36f9b149d5225)
等比級数は初項が 0 (a = 0)の場合や公比の絶対値が 1 より小さい(|r| < 1)場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく(a ≠ 0)公比の絶対値が 1 以上(|r| ≥ 1)の場合には等比級数は発散する。
無限級数は数列の第 n 項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95e412bf1a741e8f1d4cea11c08ad23c971f26f)
例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017e1a1745e4dbecf2d43f888b7b61f55b67a4a7)
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。
- ^ 一般に、a, b, c が 0 でないとき、 b を等比中項と呼ぶ。このとき、a : b = b : c = r が成り立つ。