Kwantyfikator ogólny, kwantyfikator duży, kwantyfikator uniwersalny – kwantyfikator oznaczający, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej.
Stosuje się dwie postacie graficzne:
(odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „for all”)
oraz:
![{\displaystyle \bigwedge _{x}\phi (x).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed14a9adf81115e246b04c65ecacabc6b657f03)
W obu przypadkach czyta się „dla każdego
zachodzi
”.
Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:
![{\displaystyle \forall x:(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4d4e99d0e1738ff71b18d8800466a7d4090349)
![{\displaystyle \bigwedge _{x}(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bc0bc6acba00a4eb307ff4d9f4824deaa39776)
to używa się uproszczonej notacji:
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {A} :\phi (x),}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa4d79fb341bb49264cbf60b5acb05ee6a01ac1)
![{\displaystyle \bigwedge _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c208445d038ed4e2af61ff5957a96ab2b49d4a7)
i czyta się „dla każdego
należącego do zbioru
zachodzi
”.
Jeżeli
jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów
to:
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\land \phi (x_{1})\land \ldots \land \phi (x_{n}).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde125d4606aed422440bfb970e35077f563664d)
Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:
![{\displaystyle \neg \forall x:\phi (x)\equiv \exists x:\neg \phi (x),}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5eb459d2b3111c5d3e864af1228490b09fa98c)
![{\displaystyle \neg \exists x:\phi (x)\equiv \forall x:\neg \phi (x).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc118c72a79086b42f72a91d82f72fe292a24c7)
Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego
”, to istnieje takie
że to zachodzi. Mamy więc implikację:
![{\displaystyle \forall x:\phi (x)\implies \exists x:\phi (x).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c84503bb98d2fc2c7c276250fa30bf3205ccc0)
Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego
zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego
dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.