Paralelism (geometrie)
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
În geometrie, paralelismul se referă la o proprietate relațională, în cadrul unui spațiu euclidian, a două sau mai multe subspații (de exemplu drepte sau plane). Presupusa existență și proprietățile dreptelor paralele formează baza axiomei paralelelor a lui Euclid. Două drepte într-un plan care nu se pot intersecta se numesc drepte paralele. Analog, într-un spațiu tridimensional, o dreaptă și un plan sau două plane pot fi paralele; în general, într-un spațiu euclidian n-dimensional, un spațiu m-dimensional și un spațiu n−1-dimensional (cu ) sunt paralele dacă nu au vectori în comun.
În spații neeuclidiene, dreptele paralele sunt cele care se intersectează doar la limită la infinit.
Simbol
[modificare | modificare sursă]Simbolul pentru paralelism este . De exemplu arată că dreapta AB este paralelă cu dreapta CD.
În setul de caractere Unicode, semnele „paralel” și „neparalel” sunt alocate codurilor U+2225 (∥) și respectiv U+2226 (∦).
Paralelism euclidian
[modificare | modificare sursă]![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Parallel_transversal.svg/300px-Parallel_transversal.svg.png)
Date fiind dreptele l și m, următoarele descrieri pentru m o definesc echivalent ca paralelă la dreapta l într-un spațiu euclidian:
- Toate punctele de pe dreapta m se află la exact aceeași distanță minimă de dreapta l (drepte echidistante).
- Dreapta m se află în același plan ca dreapta l dar nu se intersectează cu l (chiar și presupunând că dreptele se extind până la infinit în ambele direcții).
- Dreptele m și l sunt intersectate de o a treia dreaptă (o secantă) din același plan, iar unghiurile corespunzătoare intersecției cu secanta sunt egale. (Această afirmație este echivalentă cu axioma paralelelor a lui Euclid.)
Cu alte cuvinte, dreptele paralele trebuie să se afle în același plan, iar planele paralele trebuie să se afle în același spațiu tridimensional. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan în același spațiu tridimensional.
Construcție
[modificare | modificare sursă]Cele trei definiții de mai sus duc la trei metode diferite de construire a dreptelor paralele.
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Par-prob.png/250px-Par-prob.png)
-
Definiţia 1: Dreapta m are aceeaşi distanţă faţă de dreapta l.
-
Definiţia 2: Se ia o dreaptă oarecare prin a care intersectează l în x. Se duce punctul x la infinit.
-
Definiţia 3: Atât l cât şi m au o aceeaşi secantă prin a care le intersectează la 90°.
O altă definiție a dreptelor paralele utilizată frecvent este aceea că două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, dar aceasta este valabilă doar într-un spațiu bidimensional.
Distanța între două drepte paralele
[modificare | modificare sursă]Întrucât o dreaptă paralelă este o dreaptă formată din puncte aflate la aceeași distanță față de cealaltă, atunci există o unică distanță între cele două drepte paralele. Date fiind ecuațiile a două drepte paralele neverticale:
distanța între cele două drepte se poate găsi rezolvând sistemul de ecuații liniare:
și sistemul:
pentru a obține coordonatele picioarelor unei perpendiculare pe cele două drepte. Soluția sistemelor este:
Introducând în formula distanței euclidiene rezultă:
...
adică:
De asemenea, dacă cele două drepte sunt
atunci distanța între ele poate fi formulată astfel:
Legături externe
[modificare | modificare sursă]- Construcția unei linii paralele cu o paralelă dată, printr-un punct exterior (dat sau oarecare) acesteia, utilizând un compas și un liniar — la [Math Open References