卷积、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数
,并假定
的高度是1.0,在5个不同点上的值,用在每个点下面的阴影面积来指示。
上面:100个随机数序列的图,其中隐含了一个正弦函数。下面:自相关函数产生的相关图显示出的正弦函数。
自相关(英語:Autocorrelation),也叫序列相关[1],是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式(如被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波频率中消失的基頻的数学工具。它常用于信号处理中,用来分析函数或一系列值,如時域信号。
自相关函数在不同的领域的定义不完全等价。在某些领域,自相关函数等同于自协方差。
将一个有序的随机变量序列与其自身相比较,这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列,都与其自身相似,即在此情况下,自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性(不再是随机的),则由以下相关值方程所计算的值不再为零,这样的组成部分为自相关。
![{\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu _{i})(X_{i+k}-\mu _{i+k})]}{\sigma ^{2}}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75100cc4701f14bc96e5415253ee16f6d47e8759)
......... 期望值。
........ 在t(i)时的随机变量值。
........ 在t(i)时的预期值。
.... 在t(i+k)时的随机变量值。
.... 在t(i+k)时的预期值。
......... 为方差。
所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值,-1则为最大負相关值,0為不相關。
在信号处理中,上面的定义通常不进行归一化,即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时,有时会被称作自相关系数。[2]
给定一个信号
,连续自相关函数
通常定义为
与其自身延迟
的连续互相关。
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(u+\tau ){\overline {f}}(u)\,{\rm {d}}u=\int _{-\infty }^{\infty }f(u){\overline {f}}(u-\tau )\,{\rm {d}}u}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2a1a97ef4506c99c8845e820bacf966ef9cd44)
其中
表示共轭复数,
是对函数
操作的一个函数,定义为
而
表示卷积。
对于实值函数,
。
注意积分中的参数
是一个虚变量,并且只对计算积分有用。没有具体含义。
离散信号
的延迟为
的离散自相关
是
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8516ebb068616f3e021f2cb6c48170c535188a35)
上述定义在信号平方可积或平方可和(即有限能量)的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程,就需要使用基于期望值的与之不同的定义。对于宽平稳随机过程,自相关函数定义为
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f}}(t-\tau )\right]}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be7d2e4d8c504d0c68e3a4b36687bed7cd60f5d)
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y}}(n-l)\right].}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd64b05417ffd5c20bd0f5b65effab1758839002)
对于非平稳过程,这些也会是
或者
的函数。
对于还是可遍历的过程, 期望会被换成时间平均的极限。各态历经过程的自相关函数有时定义为或等于[2]
![{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,{\rm {d}}t}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f6026ed4f4b028165805dd41ed11673f5c7f6b)
![{\displaystyle R_{yy}(l)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082336fb125ba1e0204b2072de4c6189fccf1153)
这些定义的优点是,它们合理定义了周期函数的单变量结果,甚至当那些函数不是平稳各态历经过程时。
此外,「永远持续」的信号可以通过短时距自相关函数使用有限时间积分来处理(相关过程参见短時距傅立葉變換。)
多维自相关定义类似。例如,在三维中, 平方可和的离散信号的自相关就会是
![{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell }.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97d4fe68d8e7a6719986282d2c6f6568f57d75d)
若在求自相关函数之前从信号中减去均值,得出的函数通常称为自协方差函数。
以下以一维自相关函数为例说明其性质,多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
- 对称性:从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数
- 当f为实函数时,有:
![{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec136649d13b8e8b550b657215c73db8afa12ac9)
- 当f是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足:
![{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c0eb30a521fa54b568fc2432db15539ba278f5)
- 其中星号表示共轭。
- 连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时 τ,均有
。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。
- 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
- 两个相互无关的函数(即对于所有 τ,两函数的互相关均为0)之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
- 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。
- 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数,在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
![{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a412198895cf2e891a281db6f11d5fd3eceabc)
![{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d71297fadf1303e6315f79fb81f4306e592fea)
- 实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式:
![{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cos(2\pi f\tau )\,df}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4a08121c5e6d015ef4b2dc5ffc2e08b953e575)
![{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,d\tau .}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f73532ab6002d422b93819e7540de454ebc518a)
白噪声的自相关函数为δ函数:
![{\displaystyle r_{nn}=\mathbb {E} \{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7dafa18f96c8533c015ab3a1c7504ed5062a2f2)
- 信号处理中,自相关可以提供关于重复事件的信息,例如音乐节拍(例如,确定节奏)或脉冲星的频率(虽然它不能告诉我们节拍的位置)。另外,它也可以用来估计乐音的音高。
- ^ Zovko, Ilija I. Topics in Market Microstructure. Amsterdam University Press. 2008-09-01. ISBN 9789056295387 (英语).
- ^ 2.0 2.1 Dunn, Patrick F. Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. 2005. ISBN 0-07-282538-3.