球 (數學)
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球(英語:sphere)在數學裏,是指球面內部的空間。球可以是封閉的(包含球面的邊界點,稱為閉球),也可以是開放的(不包含邊界點,稱為開球)。
球的概念不只存在於三維歐氏空間裏,亦存在於較低或較高維度,以及一般度量空間裏。維空間裏的球稱為維球,且包含於維球面內。因此,在歐氏平面裏,球為一圓盤,包含在圓內。在三維空間裏,球則是指在二維球面邊界內的空間。
歐氏空間裏的球
[編輯]在 維歐氏空間裏,一個中心為 ,半徑為 的 維(開)球是個由所有距 的距離小於 的點所組成之集合。一個中心為 ,半徑為 的 維閉球是個由所有距 的距離小於等於 的點所組成之集合。
在 維歐氏空間裏,每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時,球是個有界的區間;在二維時,是某個圓的內部(圓盤);而在三維時,則是某個球面的內部。
體積
[編輯]在 維歐氏空間裏,半徑 的球之 維體積為[1]:
其中,Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數(可被視為階乘在實數的延伸)。使用Γ函數在整數與半整數時的公式,可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積:
在奇數維度時的體積公式裏,對每個奇數,雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。
一般度量空間裏的球
[編輯]令 (M,d) 為一度量空間,即具有度量(距離函數)d 的集合 M。中心為 M 內的點 p,半徑為 r > 0 的開球,通常標計為 Br(p) 或 B(p; r),定義為
其閉球,可標計為 Br[p] 或 B[p; r],則定義為
請特別注意,一個球(無論開放或封閉)總會包含點 p,因為依定義, r > 0。
開球的閉包通常標記為 。雖然 與 總是成立的,但 則不一定總是為真。舉例來說,在一個具離散度量的度量空間 X 裏,對每個 X 內的 p 而言,,但 。
一個(開或閉)單位球為一半徑為 1 的球。
度量空間的子集是有界的,若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的,若給定一正值半徑,該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。
度量空間裏的開球為拓撲空間裏的基,其中所有的開集合均為某些(有限或無限個)開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。
賦範向量空間裏的球
[編輯]每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間,其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裏,每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p,再縮放 r 後所得之集合。
前面討論的歐氏空間裏的球亦為賦範向量空間裏球的一例。
p-範數
[編輯]在具 p-範數 Lp 的笛卡爾空間 裏,開球是指集合
在二維(n=2)時,L1(通常稱為曼哈頓度量)的球是對角線平行於坐標軸的正方形;而 L∞(切比雪夫度量)的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值,該球則會是超橢圓的內部。
在三維(n=3)時,L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體,而 L∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值,該球則會是超橢球的內部。
一般凸範數
[編輯]更一般性地,給定任一 Rn 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X,均可定義一個在 Rn 的範數,該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意,若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代,則定理不能成立,因為原點也符合定理內所定之集合,但無法定義 Rn 內的範數。
拓撲空間裏的球
[編輯]在拓撲學的文獻裏,「球」可能有兩種含義,由上下文決定。
開集
[編輯]「(開)球」一詞有時被非正式地用於指代任何開集:可以用「p 點周圍的一個球」代表包含p 的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣,「閉球」有時用於表示這樣一個開集的閉包。(這可能產生誤導,例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包,它們都是既開且閉的。)
有時,鄰域用於指代這個意義上的球,但是鄰域其實有更一般的意義:p 的一個鄰域是任何包含一個p 的開集的集合,因此通常不是開集。
拓撲球
[編輯]X 內的 n 維(開或閉)拓撲球是指 X 內同胚於 n 維(開或閉)歐幾里得球的任一子集,該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裏很重要,為建構胞腔復形的基礎。
任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形 。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]n。
n 維球同胚於 m 維球,若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型,以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。
一個 n 維拓撲球不一定是光滑的;若該球是光滑的,亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.19(iii) n-Dimensional Sphere. [2015-09-28]. (原始內容存檔於2021-04-22).
- D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
- "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
- "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2][永久失效連結]
參見
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