En topologia de dimensions baixes, les 3-varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són localment homeomorfs en l'espai euclidià .

Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant.

Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.

Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en aquests. Això condueix a la idea de superfície incompressible (incompressible surface) i la teoria de varietats de Haken, en què un pot triar de tal manera que les peces complementàries siguin menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també les anomenades descomposicions de Heegaard.

Exemples sense frontera

modifica

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: un primer exemple, la 3-esfera  . Un altre més és l'espai projectiu  . És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:

 
 
 
 

O bé fibrats de la manera  , en què   és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert,indispensables per a entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.

També tenim els fibrats de les maneres  , i és   una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

Exemples amb frontera

modifica

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària   o el tor sòlid  , les fronteres són les 2 - esfera i el tor, respectivament. L'ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.

També hi ha tots els fibrats de la forma

  (I-bundles)

on   és un interval i   una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre l'ampolla de Klein,  , que és el  -bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba   dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera,  , és un tor  . A més   correspon a  .

Un altre exemple és el producte cartesià   de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és   i és diferent de  .

També la frontera   és  , la qual també és un tor  .

Tipus de 3-varietats

modifica

Resultats Fonamentals

modifica
  • Teorema de Descomposició Prima
  • Teorema de Moise
  • Descomposició de JSJ
  • Teoremes del Llaç i l'Esfera (que generalitzen el Lema de Dehn).
  • Teorema de geometrització per varietats de Haken
  • Teorema de Lickorish-Wallace

Problemes famosos

modifica

Referències

modifica
  • Hempel, John. 3-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3695-1. 
  • Jaco, William H. Lectures on three-manifold topology. Providence, RI: American Mathematical Society, 1980. ISBN 0-8218-1693-4. 
  • Rolfsen, Dale. Knots and Links. Providence, RI: American Mathematical Society, 1976. ISBN 0-914098-16-0. 
  • Thurston, William P. Three-dimensional geometry and topology. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. ISBN 0-691-08304-5. 
  • Adams, Colin Conrad. The Knot Book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original.. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. xiv+307. ISBN 0-8050-7380-9. 
  • Bing, R. H.. The Geometric Topology of 3-Manifolds. 40. Providence, RI: American Mathematical Society, 1983, p. x+238. ISBN 0-8218-1040-5. 

Enllaços externs

modifica
  • A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds . Que està en línia disponible en aquest enllaç