Vyjádření v kanonických souřadnicích
editovat
Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi dvě funkce a . Poissonova závorka má pak tvar
-
Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.
-
Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.
Poissonovy závorky splňují následující vztahy
-
Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je
-
Dále platí
-
-
Platí také tzv. Jacobiho identita
-
Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí
-
S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát
- ,
Kde je Hamiltonova funkce. Funkce je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí
-
V případě, že nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar
-
Zvolíme-li za funkci Hamiltonovu funkci , pak podle bude platit
-
Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.
Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka .
Fundamentální Poissonova závorka
editovat
Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.
Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy
-
-
-
kde je Kroneckerovo delta.