Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru , které obsahují jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny , značíme .
- je uzavřená
Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny jako množinu všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s .
-
Uzávěr množiny metrického prostoru lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako , kde označuje vnitřek množiny .
Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod označíme jako vnitřní bod množiny , pokud existuje takové , že pro množinu platí .
Pokud platí , pak se množina nazývá otevřená (v metrice ).
Pro množiny metrického prostoru platí vztahy
-
-
-
-
- pokud , pak platí také
- každá otevřená podmnožina množiny je podmnožinou
- množinu získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny .
Je-li částí metrického prostoru , pak vnitřek množiny nazveme vnějškem množiny . Body nacházející se ve vnějšku nazýváme vnějšími body množiny .
Pokud existuje takové okolí bodu , že , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.
Jestliže každé okolí bodu obsahuje prvek množiny různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny .
Bod uzávěru je hromadným bodem množiny (pokud se nejedná o izolovaný bod).
- Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. .
- Uzávěr celého je , tzn. .
- Pro platí
-
-
- (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci a .)
-
- pokud , pak
- je-li je podmnožinou uzavřené množiny , pak