Lorentzfaktor
Der dimensionslose Lorentzfaktor (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.
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Der Lorentzfaktor ist definiert als:
- bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
- Die Lichtgeschwindigkeit ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.
Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt
Ist , aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit
so wird durch eine Taylor-Entwicklung
In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung () dem Wert der newtonschen Physik.
Lorentzfaktor in Abhängigkeit vom Impuls
BearbeitenDer Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:
mit
- dem relativistischen Dreierimpuls des betrachteten Objektes
- seiner Masse
Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.
Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentzfaktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.
Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der kinetischen Energie
BearbeitenDer Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:
mit
- der kinetischen Energie des betrachteten Objektes
- seiner Ruheenergie .
Lorentzfaktor bei Beschleunigungen
BearbeitenDie zeitliche Ableitung von ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung über den Impuls lautet. Es gilt: .
Es folgt direkt:
Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.[1] Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentzfaktors
erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:[2]
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Masse.
- ↑ Thorsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Spektrum, Heidelberg 2013, S. 327.