Moyenne pondérée

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La moyenne pondérée est la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients.

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En statistique, considérant un n-uplet de réels

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$

et les coefficients, ou poids, correspondants,

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$ de somme non nulle,

la moyenne pondérée ${\displaystyle {\bar {x}}}$ est calculée suivant la formule :

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}}$, quotient de la somme pondérée des ${\displaystyle x_{i}}$ par la somme des poids,

soit

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\alpha _{3}x_{3}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\cdots +\alpha _{n}}}.}$

Il s'agit donc du barycentre du système ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\\\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}\end{pmatrix}}}$.

Lorsque tous les poids sont égaux, la moyenne pondérée est identique à la moyenne arithmétique. Alors que la moyenne pondérée a des propriétés similaires à celles de la moyenne arithmétique, elle a cependant quelques propriétés non intuitives, telles que par exemple celle du paradoxe de Simpson.

D'autres types de moyennes ont une version pondérée ; par exemple, il existe une moyenne géométrique pondérée ainsi qu'une moyenne harmonique pondérée.

La moyenne pondérée a été utilisée dans l'enseignement primaire français depuis au moins l'époque du ministre Jules Ferry à la fin du XIX^e siècle, mais a pris un regain d'intérêt avec les réalisations autour des ensembles flous.