Tétraèdre régulier

solide de Platon

En géométrie, le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 arêtes et 4 sommets. Il fait partie des cinq solides de Platon. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 4 sommets et une sphère inscrite tangente à ses 4 faces.

Tétraèdre régulier
Image illustrative de l’article Tétraèdre régulier

Type Solide de Platon
Type de faces {3}
Configuration de sommet 3.3.3
Faces 4
Arêtes 6
Sommets 4
Caractéristique 2

Symbole de Schläfli {3,3}
s{2,2}
Symbole de Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin


Type de faces {3}
Références d'indexation U01, C15, W1
Dual Auto-dual
Groupe de symétrie Td
Angle dièdre arccos(1/3) 70,529°
Propriétés Uniforme, convexe, deltaèdre
Figure de sommet
3.3.3
(Figure de sommet)
Dual
Auto-dual
(Dual)
Patron
Patron

Comme il a 3 sommets par face, et 3 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques

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Tétraèdre régulier inscrit dans un cube

Si a est la longueur d'une arête :

  • sa hauteur est égale à :   ;
  • son centre est situé, par rapport à la base, à :   ;
  • le rayon de sa sphère circonscrite est :   ;
  • le rayon de sa sphère inscrite est :   ;
  • son aire est :   ;
  • son volume est :   ;
  • son angle dièdre vaut   ;
  • son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut   , double de l'angle dit « magique ».
  • l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut   stéradians ;
  • Les 4 points de coordonnées   sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête a = 22 centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

Propriétés diverses

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Autodualité du tétraèdre régulier.

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique S4 . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné A4.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée, en prenant comme plan de coupe le plan parallèle à deux arêtes orthogonales, passant par le milieu des quatre autres arêtes.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

Notes et références

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Voir aussi

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