Koszinusztétel

matematikai állítás
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. március 12.

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

Jelölések

vagy másként:

Bizonyítások

szerkesztés

Háromszögekre bontással

szerkesztés

A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

 
Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

   
 
 

felhasználva a   trigonometriai azonosságot. QED

Megjegyzés

Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha  . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy   helyett   szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

Vektorok segítségével

szerkesztés

Az   háromszög adott.  -ből indítsuk a helyvektorokat.  -ba mutató vektor legyen  .  -be mutató vektor legyen  . Az   és   vektorok hajlásszöge legyen  .

Ekkor    . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Koordinátarendszerben

szerkesztés
 
Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben

Helyezzük el az  -et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a   csúcs az origóba essen, és a   csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott   oldal és a   szög, így a   csúcs koordinátái  . Ekkor az   csúcs koordinátái  .[* 1] Az   oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:

 

QED

Megjegyzés

A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).

Alkalmazások

szerkesztés

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Megjegyzések

szerkesztés
  1. Ezt akár a polárkoordinátákból, akár az A pont vetületeiből ki tudjuk deríteni.

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés