Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Em física, em particular em aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes.

Definições

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Seja   um espaço vetorial sobre um corpo   um subcorpo de   (veja números complexos). Para todos os vetores   e todos os escalares   uma função binária   com as seguintes propriedades:[1]

  • Simetria hermitiana:   sendo que   representa o conjugado complexo de  
  • Distributividade (ou linearidade):  
  • Homogeneidade (ou associatividade):  
  • Positividade:  

é chamada um produto interno.


A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:   para todos     para todos   e  

Exemplos

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Um espaço vetorial de dimensão finita no qual está definido um produto interno é um espaço vetorial euclidiano. O produto escalar sobre o espaço vetorial   dado por   é um produto interno.

Esta definição de produto escalar pode ser referida como produto interno usual. Podemos ter uma outra definição tal qual se tenha um produto diferente do citado acima, desde que se respeitem os axiomas de produto interno.

Ainda no   podemos escrever o produto interno numa forma matricial:

  onde  

De fato, podemos definir, para qualquer matriz   de ordem 3x3, a seguinte função   por   e temos, assim, que   é um produto interno se:

  1. A Matriz A é positiva definida, ou seja, possui apenas autovalores positivos.
  2. A Matriz A é simétrica.

Em alguns casos pode ser mais prático para provar se determinada operação é, ou não, produto interno.

Obs: no caso complexo, essas condições não são válidas. Uma condição necessária é que a matriz seja auto-adjunta, ou seja, ela deve ser igual à transposta da sua conjugada.

No espaço   a função que associa a cada par de vetores u =   e v =   o número real:

 

é um produto interno.

De fato:

 

Onde A tem o termo   o determinante é igual a 12 e a matriz é simétrica.

Se formos demonstrar, para todos os axiomas, teremos que este é um produto interno.

Se   for o espaço das funções contínuas complexas com domínio   a função   dada por   é um produto interno.

Propriedades

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O ângulo entre dois vectores definido a partir do produto interno.

Num espaço vetorial com produto interno, é possível definir os conceitos de ortogonalidade, norma, distância e ângulo entre vetores.

Seja   um espaço vetorial real ou complexo com produto interno.

Norma

Podemos definir uma norma   em   por  

Se   com a métrica induzida pela norma acima for um espaço métrico completo, dizemos que   é um espaço de Hilbert.

Ângulo e ortogonalidade

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Dizemos que dois vetores   e   de   são ortogonais se, e somente se,  

Se   for um espaço vetorial real, da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos, para dois vetores   e   de   que   Podemos, então, definir o ângulo θ entre esses dois vetores por:   ou simplesmente  

Ver também

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Referências

  1. APOSTOL, Tom (1969). Calculus. II Segunda ed. Nova Iorque: John Wiley & Sons 

Ligações externas

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