假设 是复平面 的开子集, 是 的一个元素, 是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数 和一个非负整数 ,使得对于所有 内的 ,都有
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那么 便称为 的极点。满足以上条件的最小整数 称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。
1.函数f在极点a的极限值是 .也就是说
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2.由性质1.可知,如果令函数
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那么代入定义可知:
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其中 在 点解析。那么有 是 的m阶零点。
3.由于 是全纯函数, 可以表示为:
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这是一个洛朗级数,它的主部分是有限的。全纯函数 称为 的正则部分。因此,点 是 的 阶极点,当且仅当 在 处的罗朗级数中所有低于 的次数都为零,而 次项不为零。
如果函数 的一阶导数在 处具有简单极点,则 是 的一个分支点,但反过来不成立。
一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。
除了一些孤立奇点外全纯的函数,且所有的奇点均为极点,则该函数称为亚纯函数。