Ein abzählbar normierter Raum (englisch countably normed space) ist in der Funktionalanalysis ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie durch eine abzählbare Menge von kompatiblen Normen erzeugt wird, das heißt, sie besitzen dieselben Cauchy-Folgen. Der Begriff wurde von Israel Moissejewitsch Gelfand und Georgi Jewgenjewitsch Schilow eingeführt.[1]

Abzählbar normierter Raum

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Seien   und   zwei Normen auf einem linearen Raum  . Man nennt   und   kompatibel oder konsistent, falls eine Cauchy-Folge  , welche in einer der beiden Normen gegen   konvergiert, auch in der anderen Norm gegen   konvergiert.

Ein lokalkonvexer Raum   heißt abzählbar normierter Raum, falls die Topologie durch eine abzählbare Menge kompatibler Normen   erzeugt wurde.[2]

Eigenschaften

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Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Normen von der Form   für   sind, ansonsten definiert man die Normen  , welche die gleiche Topologie erzeugen.

Sei   der Banachraum, der durch die Vervollständig bezüglich der  -Norm entstanden ist. Dann existiert eine Inklusion

 

und   ist ein Fréchet-Raum und der projektive Limes

 

  ist metrisierbar und eine Metrik ist durch

 

gegeben. Eine Folge in   ist dann und nur dann eine Cauchy-Folge bezüglich dieser Metrik, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich jeder Norm ist.

Beispiele

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  • Sei   der Raum der glatten Funktionen auf  , dann wird der Raum durch die Normen
 
zu einem abzählbar normierten Raum.

Literatur

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  • Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.

Einzelnachweise

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  1. Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.
  2. V.A. Sadovnichii: Theory of operators. Hrsg.: Springer. Niederlande, US 1991, S. 85.