Eine oder viele?

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Mir wird nicht klar: Gibt es auf einem Raum von linearen Abbildungen nun genau eine Operatornorm (das sagt der Abschnitt "Definition") oder mehrere verschiedene (das sagt der Abschnitt über "Matrixnormen")? -- Digamma 15:29, 5. Jul. 2010 (CEST)Beantworten

Hallo, angenommen   sei eine lineare Funktion zwischen normierten Vektorräumen. Die Operatornorm ist doch dann abhängig von der Norm auf den Räumen V und W. Auf dem R^n gzum Beispiel gibt es doch viele verschiedene äquivalente Normen und daher kommen auch die unterschiedlichen Normen im Abschnitt Matrixnorm. --Christian1985 16:07, 5. Jul. 2010 (CEST)Beantworten
Danke. Sorry, ich hatte nicht genau genug gelesen. -- Digamma 16:15, 5. Jul. 2010 (CEST)Beantworten

Definition der Operatornorm falsch/nicht wohldefiniert für

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Falls   ein linearer Operator ist, aber  , dann gilt nach der Definition im Artikel

 

Außerdem existiert dann gar kein   mit  , daher gilt auch

 

Ich bin mir ziemlich sicher, dass da   rauskommen sollte, weil   die Nullfunktion ist. Man beachte, dass jede Nullfunktion   nach der Definition im Artikel die Norm   hat, nur wenn   gilt, gilt  . Das scheint mir sehr willkürlich. Ich finde diese Definition besser:

 

Da kommt für   auch immer   raus, und für   stimmt sie auch mit der Definition im Artikel überein. Das wird auch in "Amann, Escher, Analysis II" so gemacht. -- Mejiwa 15:20, 16. Sep. 2010 (CEST)Beantworten

Nach einem Blick in das Buch Funktionalanalysis von Werner halte ich den Umbau auch für sinnvoll. --Christian1985 ( 17:27, 26. Sep. 2010 (CEST)Beantworten
Man sollte aber darauf achten, dass die Definition verständlich bleibt. Die bisherige Definition (die in allen Fällten außer   zur hier neu vorgeschlagenen äquivalent ist) ist wesentlich verständlicher als die neu vorgeschlagene. Die zwei Definitionen stimmen auch überein, wenn man die Supremumsfunktion auf Teilmengen von   beschränkt und dann sinnvollerweise   setzt. Nichts anderes geschieht ja eigentlich in der alternativen Definition, die statt die Supremumsfunktion zu benutzen direkt auf deren Definition zurückgreift.
Eine Möglichkeit wäre zum Beispiel, die Definition
 
aus Amann, Escher zu benutzen, aber gleich darauf zu schreiben, dass für   die Aussagen
 
gelten. -- Digamma 18:02, 26. Sep. 2010 (CEST)Beantworten
Ich habe es so eingebaut. -- Digamma 18:11, 26. Sep. 2010 (CEST)Beantworten
Ok, Dankeschön für die Änderung :) Ich finde auch, dass die alten mit dem Supremum gemachten Definitionen zum besseren Verständnis drin bleiben sollten. -- Mejiwa 23:59, 26. Sep. 2010 (CEST)Beantworten
Gern geschehen. Falls Du weitere Verbesserungsmöglichkeiten siehst: Mach's einfach. -- Digamma 19:48, 27. Sep. 2010 (CEST)Beantworten