Fréchet-Verteilung
Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.
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Verteilungs- und Dichtefunktion
BearbeitenDie Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter die Verteilungsfunktion
Die dazugehörige Dichtefunktion ist
Momente und Median
BearbeitenIm Folgenden sei eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und die Gamma-Funktion.
Median
BearbeitenDer Median ist
Existenz von Momenten
BearbeitenDie k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn .
Erwartungswert
BearbeitenDer Erwartungswert ist
- .
Varianz
BearbeitenDie Varianz ist
Schiefe
BearbeitenDie Schiefe ist
Kurtosis
BearbeitenDie Kurtosis ist
Zusammenhang mit anderen Verteilungen
BearbeitenIst Fréchet-verteilt mit Parameter , so ist Gumbel-verteilt mit Parametern und .
Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.
Anwendung
BearbeitenSie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.
Literatur
Bearbeiten- J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
- J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.
Einzelnachweise
Bearbeiten- mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011