Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Verteilungs- und Dichtefunktion

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Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter   die Verteilungsfunktion

 

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

 

Momente und Median

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Im Folgenden sei   eine  -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und   die Gamma-Funktion.

Der Median ist

 

Existenz von Momenten

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Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn  .

Erwartungswert

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Der Erwartungswert ist

 .

Die Varianz ist

 

Die Schiefe ist

 

Kurtosis

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Die Kurtosis ist

 

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

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Ist   Fréchet-verteilt mit Parameter  , so ist   Gumbel-verteilt mit Parametern   und  .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung

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Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

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  • J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
  • J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise

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