Die Gesamtnorm ist in der Mathematik eine auf der Maximumsnorm basierende Matrixnorm. Sie ist definiert als das betragsmaximale Matrixelement multipliziert mit dem geometrischen Mittel aus der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix. Die Gesamtnorm ist submultiplikativ und unter bestimmten Einschränkungen an die Dimensionen der Matrix mit allen p-Normen verträglich, sie ist aber keine Operatornorm. Sie wird insbesondere in der numerischen linearen Algebra eingesetzt.

Definition

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Die Gesamtnorm   einer reellen oder komplexen (m × n)-Matrix   mit   als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als

 ,

also das Produkt aus dem geometrischen Mittel der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix mit dem Maximum der Beträge aller Matrixelemente  . Die Gesamtnorm entspricht damit bis auf den Vorfaktor dem maximalen Eintrag eines Vektors der Länge  , in dem alle Einträge der Matrix untereinander notiert sind, und damit der Maximumsnorm dieses Vektors.

Für den Spezialfall einer quadratischen Matrix   ist die Gesamtnorm durch

 

gegeben.

Beispiele

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Reelle Matrix

Die Gesamtnorm der reellen (2 × 2)-Matrix

 

ist gegeben als

 .

Komplexe Matrix

Die Gesamtnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

 

ist gegeben als

 .

Eigenschaften

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Normaxiome

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Da die Summe zweier Matrizen   und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der Maximumsnorm für Vektoren. Die Skalierung mit dem konstanten Vorfaktor   hat dabei keinen Einfluss auf die Aussagen.

Submultiplikativität

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Die Gesamtnorm ist submultiplikativ, das heißt für Matrizen   und   gilt

 ,

wie mit Hilfe der Dreiecksungleichung und mit der Abschätzung einer Summe von Matrixelementen durch das entsprechende Vielfache des maximalen Elements über

 

gezeigt werden kann. Hieraus erklärt sich auch der Grund für die Skalierung, da die Gesamtnorm ohne diesen Vorfaktor im Allgemeinen nicht submultiplikativ ist.

Verträglichkeit

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Die Gesamtnorm ist mit allen p-Normen verträglich, sofern   für   und   für   gilt. Unter diesen Einschränkungen gilt für eine Matrix   und einen Vektor   die Ungleichung

 .

Die Verträglichkeit folgt dabei aus der Ungleichungskette

 

wobei der Vorfaktor unter genau den obigen Bedingungen durch Eins beschränkt ist. Dabei wurde die 1-Norm durch die p-Norm über   abgeschätzt und wie bei der Submultiplikativität die Summe durch das Maximum ersetzt und wiederholt die Dreiecksungleichung angewandt.

Die Gesamtnorm ist damit immer mit der euklidischen Norm verträglich. Mit der Summennorm und allen anderen p-Normen für   ist sie nur verträglich, falls die Zahl der Zeilen höchstens so groß wie die der Spalten ist. Mit der Maximumsnorm und allen anderen p-Normen für   ist sie nur kompatibel, falls die Zahl der Zeilen mindestens so groß wie die der Spalten ist. Für quadratische Matrizen ist die Gesamtnorm mit allen p-Normen verträglich.

Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm

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Die Gesamtnorm ist keine Operatornorm und damit keine natürliche Matrixnorm, das heißt, es gibt keine Vektornorm   sodass

 

gilt, da jede Operatornorm für die Einheitsmatrix   den Wert Eins besitzen muss, jedoch   für   einen Wert größer als Eins ergibt. Wird die Gesamtnorm für die Einheitsmatrix auf Eins skaliert, dann geht die Submultiplikativität verloren, die eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist.

Literatur

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  • Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 0-8018-5414-8.
  • Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-38632-2.
  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.