Als Markow-Näherung (nach Andrei Andrejewitsch Markow) bezeichnet man eine Näherungsmethode der Quantenoptik. In der Markow-Näherung geht man davon aus, dass ein Reservoir, an das ein quantenmechanisches System gekoppelt ist, nach der Kopplung instantan in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Anschaulich hat das Reservoir damit kein „Gedächtnis“ und verhält sich sehr schnell wieder so, als hätte die Wechselwirkung mit dem angekoppelten System überhaupt nicht stattgefunden.

Die Markow-Näherung wird beispielsweise bei der Bestimmung der Mastergleichung von gedämpften harmonischen Oszillatoren verwendet. Außerdem ist sie eine nützliche Annahme für die numerische Berechnung von quantenphysikalischen Vorgängen in diskreten Zeitschritten (engl. coarse graining).

Herleitung

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Grundlagen

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Dieser Abschnitt behandelt ein quantenmechanisches System (Index S) und ein Reservoir (Index R) sowie die Wechselwirkung zwischen beiden (Index SR).[1] Die Dynamik des Gesamtsystems wird mit einem Hamilton-Operator   beschrieben, der sich aus den einzelnen Hamiltonians des Systems und des Reservoirs sowie einem Wechselwirkungs-Hamiltonian zusammensetzt:

 

Der Dichteoperator des Gesamtsystems ist  . Der Dichteoperator   des einzelnen Systems und der des Reservoirs   sind durch Bildung der Partialspur über die Freiheitsgrade des Reservoirs bzw. des angekoppelten Systems bestimmt:

 
 

Die Zeitentwicklung von   wird durch die Von-Neumann-Gleichung beschrieben:

 

Übergang ins Wechselwirkungsbild

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Nun transformiert man die Von-Neumann-Gleichung ins Wechselwirkungsbild (gekennzeichnet durch Tilden  ), indem man den unitären Zeitentwicklungsoperator   anwendet.

 

Die unitäre Transformation beim Übergang ins Wechselwirkungsbild absorbiert quasi die schnelle Zeitentwicklung aufgrund der ungestörten Terme   und  , sodass lediglich die Kopplung von System und Reservoir für die zeitliche Entwicklung von   verantwortlich ist. Weil   eine Funktion von   ist, kommutiert   mit  ; jedoch nicht mit  . Daraus folgt:

 

Diese Differentialgleichung lässt sich formal durch

 

lösen und wird wieder in die Von-Neumann-Gleichung eingesetzt:

 

Mit einem weiteren Iterationsschritt erhält man folgende immer noch exakte Lösung für  .

 

Aus   lässt sich durch Ausspuren des Reservoirs auch   bestimmen:

 

Annahmen an das Reservoir / Bornsche Näherung

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Zur Vereinfachung nimmt man an, dass die Auswirkungen der an das System koppelnden Operatoren des Reservoirs zum Zeitpunkt   im Mittel keinen Einfluss auf das Reservoir haben. Der Erwartungswert von   verschwindet also.

 

Dies lässt sich zeigen, indem man   wie im folgenden Abschnitt in ein Produkt aus zwei Operatoren zerlegt, von denen einer aus der Spur herausgezogen werden kann. Daraus folgt direkt, dass

 

Des Weiteren nimmt man an, dass sich die Dichtematrix des Gesamtsystems zum Zeitpunkt   faktorisieren lässt. Nun wendet man die Bornsche Näherung an, d. h., man vernachlässigt Beiträge höherer Ordnungen in  :[2]

 

So ergibt sich schließlich für die Dichtematrix des Systems:

 

Reservoir-interne Korrelationsfunktionen

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Man schreibt den Wechselwirkungs-Hamiltonian   mit Hilfe von Operatoren  , die nur auf das angekoppelte System wirken und Operatoren  , die nur auf das Reservoir wirken. Somit ist:

 

Diesen Ausdruck für   setzt man nun in die letzte Gleichung des vorherigen Abschnittes ein. Dabei ist zu beachten, dass Operatoren, die nur auf dem angekoppelten System wirken, aus der Spur über die Freiheitsgrade des Reservoirs herausgezogen werden können. Des Weiteren nutzt man die Invarianz der Spur unter zyklischen Permutationen aus und erhält somit

 

Die rot markierten Ausdrücke sind Korrelationsfunktionen des Reservoirs. Sie hängen nur von der Zeitdifferenz   ab und lassen sich in Exponentialfunktionen entwickeln, die mit verschiedenen Frequenzen   oszillieren.[3]

 

In der zweiten Zeile wurde hierbei angenommen, dass das Reservoir in einem Eigenzustand von   ist und   somit nur Diagonal-Einträge   hat. Dabei ist   und   die Energiedifferenz zweier Eigenzustände des Reservoirs.

Durchführen der Markow-Näherung

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Die Markow-Näherung besteht nun darin, anzunehmen, dass im Reservoir eine Vielzahl von Energieniveaus vorhanden sind, deren zugeordnete Korrelationsfunktionen destruktiv zu null interferieren, sobald   größer ist als die internen Zeitskalen des Reservoirs. Man nimmt an, dass die Korrelationsfunktionen als Deltafunktionen genähert werden können.

 

Damit wird das Integral zu einer Faltung mit einer Deltafunktion. Dies hat zur Folge, dass in der letzten Gleichung des vorherigen Abschnittes   durch   ersetzt werden kann. Anschaulich bedeutet die Näherung mit einer Deltafunktion, dass das Reservoir nach der Ankopplung des Systems instantan in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Dies geschieht auf einer Zeitskala, die wesentlich kürzer ist als die, auf der die relevanten Prozesse des angekoppelten Systems ablaufen. Im Frequenzraum ist die Korrelationsfunktion des Reservoirs somit viel breiter als die des angekoppelten Systems. Diese deutliche Separation zweier Zeitskalen ist die wesentliche Bedingung für die Gültigkeit der Markow-Näherung.

Soll also das Verhalten von   untersucht werden, so kann man in der Born-Markow-Näherung annehmen, dass das Reservoir nach der Ankopplung des Systems in seinen Ausgangszustand zurückkehrt (Bornsche Näherung) und dies quasi sofort geschieht (Markow-Näherung).

Einzelnachweise

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  1. H.J. Carmichael: Statistical Methods in Quantum Optics I. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1999, ISBN 3-540-54882-3, S. 5–8.
  2. F. Haake: Statistical Treatment of Open Systems by Generalized Master Equations. In: G. Höhler (Hrsg.): Quantum Statistics in Optics and Solid-State Physics, Springer Tracts in Modern Physics. Band 66. Springer, Berlin/Heidelberg 1973, ISBN 978-3-662-39407-6, S. 120 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg: Atom Photon Interactions -- Basic Processes and Interactions. Wiley-VCH, Berlin/Heidelberg/New York 2004, ISBN 978-0-471-29336-1, S. 263 ff.