La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose défini par une fonction de classe
:
, et orienté dans le sens des longitudes croissantes. Soit la fonction
qui, à la longitude
, associe le point courant de la loxodromie de longitude
et de latitude
.
Un vecteur tangent à la loxodromie est alors
. Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle
avec tout vecteur (non nul) dirigeant le méridien au point considéré. Un vecteur dirigeant le méridien en
est
, tandis qu'un vecteur dirigeant le parallèle est
.
Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point
, auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles, et on notera
au lieu de
, et
la dérivée de
par rapport à
.
En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du méridien, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Cet angle est précisément le cap vrai
lorsque
:
, en notant
le produit scalaire
par
.
Comme les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires, les vecteurs
et
sont orthogonaux, et l'expression précédente se simplifie en :
![{\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\,\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bddae01a23225d258a7ce3a8f200ff403e0212b)
puis en :
![{\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df9d07d76c486ed38abb8b89a0355534b9bdc34)
En élevant au carré et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
![{\displaystyle \varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left(\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|^{2}+\varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}\right)\cos ^{2}(R_{v})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b307336e4fce5ee0b416d0b0c952cb014ed9a8f)
D'où, avec
.
On calcule les deux normes intervenant dans cette équation :
On sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base
,
étant dirigé selon l'axe terrestre, que
, où
est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par :
.
On définit
comme le vecteur dérivé par rapport à
de
:
.
Alors
et
. Ainsi,
et
.
L'équation
se réduit à :
![{\displaystyle \sin ^{2}(R_{v})\varphi '^{2}=\cos ^{2}(\varphi )\cos ^{2}(R_{v})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7b1837b904042b013fe5e03842c52139bc3288)
Si on suppose qu'on part de l'équateur (
) à la longitude
et qu'on se dirige vers le Nord-Est, alors
, et
est une fonction croissante de
donc
(dans les autres cas, on déduit l'arc par une symétrie centrale et/ou une rotation convenable(s), donc on ne perd pas de généralité), par suite :
![{\displaystyle \sin(R_{v})\varphi '=\cos(\varphi )\cos(R_{v})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b832b38c6ac2d79838ec8559eebe5bd426b6734)
- et
, équation différentielle non linéaire à variables séparables en ![{\displaystyle \varphi (G)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8017537912c9982e3941eaf3221b4e7876a3b5)
En intégrant entre 0 et
:
,
- soit (cf. Primitives de fonctions trigonométriques)
![{\displaystyle \ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi (G)}{2}}\right)\right)={G \over \tan(R_{v})}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21029ee0563ef783ba933ad013e8f888b710dbca)
La longueur L parcourue vaut alors, par définition :
![{\displaystyle L=\int _{0}^{+\infty }\|f'(G)\|\,dG}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c499657f59bd304fc58e3791eb808a18b3567f9c)
- où
et
et, pour les mêmes raisons de signe,
.
![{\displaystyle L={1 \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{+\infty }\cos(\varphi (G))\,dG}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dd2bcbfd5424cf41b5c35bb61fbee7391ef403)
En changeant de variable, avec
avec
la latitude variant de 0 à
quand
varie de 0 à
:
- On a
![{\displaystyle L={\tan(R_{v}) \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi ={1 \over \cos(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aae5618b2ad2da69fdb6b4bd3be8ecfedc2c166)
![{\displaystyle L={\pi \over 2\,\cos(R_{v})}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce1483596cbfd5baf36e26efdfef8b5a46ec17e)
Il est facile de vérifier le résultat en prenant
nul. On voit que l'arc parcouru est le méridien et sa longueur est égale au quart de la circonférence.
Le même calcul mené entre deux points A et B situés sur la loxodromie donnera comme longueur :
![{\displaystyle M={1 \over \cos(R_{v})}\int _{\varphi _{A}}^{\varphi _{B}}\,d\varphi ={\frac {\varphi _{B}-\varphi _{A}}{\cos(R_{v})}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ce085f1a95f89bf3b9acb4eb336a81632b03bb)