Hullámfüggvény
![]() |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A hullámfüggvény egy kvantummechanikai állapot (azaz kvantumállapot) jellemzésére alkalmazható matematikai eszköz. Bár a klasszikus mechanikai hullámegyenlet egy megoldásaként előálló hullámfüggvény analógiájára hozták létre, a kvantummechanikában némiképp más értelemmel bír: a kvantummechanikai hullámfüggvény egy igen kiterjedt módon alkalmazott általános matematikai formalizmus egy alapvető matematikai objektuma.
Definíció
[szerkesztés]A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:
- komplex vektor véges számú komponenssel (például Heisenberg-kép)
- ,
- komplex vektor végtelen sok komponenssel
- ,
- egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)
- .
Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.
Interpretáció (függvény)
[szerkesztés]A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.
Egy részecske egy térdimenzióban
[szerkesztés]Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény abszolútérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az intervallumba eső eredményt ad:
- .
Ez a következő normálási feltételhez vezet:
- .
Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.
Egy részecske három térdimenzióban
[szerkesztés]A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az térfogatban találjuk:
- .
A normálási feltétel hasonló:
- ,
ahol az integrálás az egész térre kiterjed.
Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban
[szerkesztés]Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:
- ,
és a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:
- ,
ahol , is hasonló. A normálási feltétel ezért:
- ,
ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.
Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.
Egy részecske egydimenziós impulzustérben
[szerkesztés]Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex függvény. A mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a intervallumba eső eredményre vezet:
- .
Ez a következő normálási feltételhez vezet:
- ,
mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.
1/2-es spin
[szerkesztés]Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):
- .
A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan és a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:
A ill. értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:
- .
Interpretáció (vektor)
[szerkesztés]A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük -vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek . Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.
Véges vektorok
[szerkesztés]A hullámfüggvény, ami egy vektor komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer állapotát a végesen sok bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol -től -ig fut. A
- ,
egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a
- ,
egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.
komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:
- Ha a állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
- állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül -t kapjunk, , és ha eredményünk , akkor a mérés után a rendszer a állapotban lesz.
Végtelen vektorok
[szerkesztés]A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,
ekvivalens a következővel:
- ,
ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.
Folytonos indexű vektorok (függvények)
[szerkesztés]Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske fizikai állapotát a határozott helyzetű állapotokon fejti ki. Ezért
- .
Vegyük észre, hogy nem azonos -vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:
és ezért az -hoz rendelt térhullámfüggvény (Dirac-delta).
Formalizmus
[szerkesztés]Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,
- 1. Ha és két megengedett állapot, akkor
- szintén megengedett állapot feltéve, hogy . (Ez a feltétel a normálás miatt van.)
és,
- 2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.
Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.
egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:
- .
Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.
Szokás felruházni -t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok báziselemünk van, amelyik mind -hoz tartoznak, akkor egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz
Ha ez a helyzet, akkor belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével
- .
Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása
azaz érvényes az analóg
- .
összefüggés.
Források
[szerkesztés]Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]További információk
[szerkesztés]- A relativtáselmélet alapfogalmai, a hullámfüggvény és a megfigyelés a kvantummechanikában - közérthető írás a hullámfüggvényről