Naar inhoud springen

Filter (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het wiskundige begrip filter wordt in de topologie gebruikt om de convergentie van rijen te veralgemenen. In metrische ruimten wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen (een verzameling is gesloten als en slechts als ze alle limieten van haar eigen rijen bevat), maar in algemenere topologische ruimten is dit niet meer waar.

Behalve filters kunnen ook netten gebruikt worden om convergentie in algemene topologische ruimten te onderzoeken.

Zij een verzameling. Een filter op is een familie van deelverzamelingen van die aan de volgende vier voorwaarden voldoet:

  1. (niet leeg)
  2. (echt, dat wil zeggen niet alle deelverzamelingen)
  3. (gesloten onder eindige doorsnede)

In het licht van de vierde voorwaarde is de tweede voorwaarde gelijkwaardig met de eis dat

Zij een niet-lege deelverzameling van . De familie is een filter op .

Zij een topologische ruimte, en . Het omgevingenfilter van is de collectie van alle omgevingen van :

Verwante definities

[bewerken | brontekst bewerken]

Zijn een verzameling. Een filterbasis op is een familie die aan de volgende drie voorwaarden voldoet:

Het woord 'basis' vindt zijn verantwoording in het feit dat een filterbasis op unieke wijze kan worden uitgebreid tot een filter. Daartoe wordt aangevuld met alle deelverzamelingen die een element uit omvatten.

.

Men noemt dit het filter voortgebracht door .

Een subbasis voor een filter op is een niet-lege familie van deelverzamelingen van met de eigenschap dat een eindig aantal onder hen steeds een niet-lege intersectie heeft.[1] De verzameling der eindige intersecties van een subbasis is een filterbasis, genaamd de filterbasis voortgebracht door

Een ultrafilter is een maximaal filter, dat wil zeggen een filter dat niet bevat is in een groter filter op .

Zij een topologische ruimte. Een filter op convergeert naar als het omgevingenfilter van omvat. De "limiet" hoeft niet uniek te zijn: de uniciteit van filterlimieten is gelijkwaardig met het scheidingsaxioma van Hausdorff.

Verband met de topologische structuur

[bewerken | brontekst bewerken]

De omgevingenfilter van een element ligt ondubbelzinnig vast als de doorsnede van alle filters die naar convergeren. Het begrip "convergent filter" bepaalt dus volledig de topologische structuur van .

Een afbeelding tussen twee verzamelingen beeldt elk filter van af op een filterbasis van . Het hierdoor voortgebrachte filter van noteren we .

Een afbeelding tussen twee topologische ruimten is continu in als en slechts als ze elk filter dat naar convergeert, afbeeldt op een filter dat naar convergeert.

Een topologische ruimte is compact als en slechts als elk ultrafilter convergeert. Dit komt op hetzelfde neer als eisen dat elk filter kan uitgebreid worden tot een convergent filter.

Verband met convergente rijen

[bewerken | brontekst bewerken]

Met iedere rij in een topologische ruimte associëren we de filterbasis die bestaat uit de staarten van de rij:

Het filter voortgebracht door deze basis heet het elementair filter voortgebracht door de rij Het bestaat uit alle deelverzamelingen van die alle elementen van de rij, op eventueel een eindig aantal na, bevatten.[1]

De rij convergeert naar een punt als en slechts als het filter voortgebracht door de omgevingen van bevat. Dit verantwoordt de definitie van het begrip "convergent filter".