Równanie diofantyczne

• Równanie ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}{:}}$  dla ${\displaystyle n=2}$  równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla ${\displaystyle n>2}$  równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
• Równanie ${\displaystyle ax+by=c}$  (${\displaystyle a,b,c}$  są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  dzieli ${\displaystyle c.}$ 
• Równanie ${\displaystyle 2^{x}+1=y^{2}}$  ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
• Równanie ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$  ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy ${\displaystyle x\neq y{:}}$  ${\displaystyle x=2,y=4}$  oraz ${\displaystyle x=4,y=2.}$ 
• Równanie ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$  ${\displaystyle (n>0)}$  zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli ${\displaystyle n}$  jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od ${\displaystyle n.}$ 
• Równanie ${\displaystyle {\tfrac {3^{a}\cdot k-1}{2^{a}\cdot k-1}}=2^{x}}$  jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla ${\displaystyle a=1,}$  ${\displaystyle k=1}$  oraz ${\displaystyle x=1,}$  które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania^[2] :

• Czy ma ono rozwiązania?
• Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
• Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przez długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo ${\displaystyle n}$ ”: liczby ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  przystają modulo ${\displaystyle n,}$  jeżeli ich różnica ${\displaystyle a-b}$  dzieli się bez reszty przez ${\displaystyle n,}$  co zapisuje się: ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ 

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$  Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych ${\displaystyle (x,y,z)}$  można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: ${\displaystyle x=k^{2}-l^{2},}$  ${\displaystyle y=2kl,}$  ${\displaystyle z=k^{2}+l^{2};}$  gdzie ${\displaystyle k,}$  ${\displaystyle l}$  to liczby naturalne, przy czym ${\displaystyle k>l.}$  Jeśli ${\displaystyle k}$  i ${\displaystyle l}$  są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako ${\displaystyle \Re (z),\Im (z),|z|,}$  gdzie ${\displaystyle z}$  jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module ${\displaystyle |z|.}$ 

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Polega na przekształceniu równania z postaci^[3]:

${\displaystyle D(x_{1},\dots ,x_{n})=0}$ 

do postaci:

${\displaystyle D_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\cdot D_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\dots D_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=a,}$ 

gdzie ${\displaystyle D_{1},D_{2},\dots ,D_{k}\in \mathbb {Z} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$  i ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} .}$ 

Następnie liczbę ${\displaystyle a}$  rozkładamy na ${\displaystyle k}$  czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{1}\\D_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{2}\\\dots \\D_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{k}.\\\end{aligned}}}$ 

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania ${\displaystyle D.}$ 

Rozważmy równanie:

${\displaystyle nm-2n+m-6=0.}$ 

I przekształćmy je w następujący sposób:

${\displaystyle n(m-2)+m-2=4,}$ 

${\displaystyle (m-2)(n+1)=(\pm 2)^{2}.}$ 

Odpowiada to dwóm możliwościom:

${\displaystyle {\begin{cases}m-2=2\\n+1=2,\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}m-2=-2\\n+1=-2,\end{cases}}}$ 

co daje rozwiązanie:${\displaystyle \{m=4,n=1\}}$  lub ${\displaystyle \{m=0,n=-3\}.}$ 

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru^[4].

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych ${\displaystyle (n,m)}$  spełniających równanie:

${\displaystyle n^{3}+m^{3}=(n+m)^{2}.}$ 

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci ${\displaystyle (k,-k),k\in \mathbb {Z} .}$  Teraz rozważmy takie rozwiązania, że ${\displaystyle (n+m)\neq 0,}$  wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez ${\displaystyle (n+m){:}}$ 

${\displaystyle n^{2}-nm+m^{2}=n+m}$ 

i przekształcić do postaci:

${\displaystyle (n-m)^{2}+(n-1)^{2}+(m-1)^{2}=2.}$ 

Z tego wynikają nierówności ${\displaystyle (n-1)^{2}\leqslant 1}$  i ${\displaystyle (m-1)^{2}\leqslant 1}$  ograniczające położenie niewiadomych ${\displaystyle n,m}$  do przedziału ${\displaystyle [0,2].}$  Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary: ${\displaystyle (0,1),}$  ${\displaystyle (1,0),}$  ${\displaystyle (1,2),}$  ${\displaystyle (2,1),}$  ${\displaystyle (2,2).}$ 

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0}$  można opisać jako:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=g_{1}(k_{1},\dots ,k_{l})\\x_{2}=g_{2}(k_{1},\dots ,k_{l})\\\dots \\x_{n}=g_{n}(k_{1},\dots ,k_{l}),\\\end{aligned}}}$ 

gdzie ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$  są ${\displaystyle l}$ -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{l}\in \mathbb {Z} .}$  Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele^[5].

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.}$ 

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że ${\displaystyle c=-b,}$  w ten sposób otrzymujemy równanie:

${\displaystyle a^{3}=a^{2}+2b^{2}.}$ 

Biorąc ${\displaystyle b=ka}$  i ${\displaystyle a=1+2k^{2}}$  ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} ),}$  powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

${\displaystyle a=2k^{2}+1,}$ 

${\displaystyle b=k(2k^{2}+1),}$ 

${\displaystyle c=-k(2k^{2}+1).}$ 

• równanie diofantyczne (automatyka)
• zbiór diofantyczny

• Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.

•   Jonathan Pila, D is for Diophantine Equations (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 7 czerwca 2022 [dostęp 2023-05-29].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Diophantine Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
•   Diophantine equations, solvability problem of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].