Diofantska jednačina je algebarska jednačina s dvije ili vise nepoznatih s cjelobrojnim koeficijentima u kojoj se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja. Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine
- Diofantska linearna jednačina je jednačina oblika:
![{\displaystyle ax+by=c}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a39c048e6c827a005e417be0e1bd5ac314e6fcc)
- gdje su a, b i c neki cijeli brojevi.
- Primjer
![{\displaystyle x=-{\frac {5}{3}}y}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9ef722f907bc6824e7cf3fe368b20159f51c37)
- Kako je x cio broj to je y djeljivo sa 3
![{\displaystyle y=3t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a357c918a4224a5c9eb2e2f91d7da2211820782)
- odnosno
![{\displaystyle x=-5t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3f351ddb10fba7fb5e4774df76664686afea73)
![{\displaystyle (x,y)=(-5t,3t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03702beed1fc54a45a2d66d98e771d6e075e1c06)
- Teorema
- Diofantska jednačina
, gdje su
,
,
cijeli brojevi
ima cjelobrojna rješenja ako i samo ako
dijeli
.
- Ako su
i
rješenja te jednačine onda su sva rješenja oblika
![{\displaystyle x=x_{0}+{\frac {b}{d}}t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f25c618c8342ad909809e2c50b6526a51d116b13)
![{\displaystyle y=y_{0}+{\frac {a}{d}}t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d82c3d47f1d5dcda19890eb0c9c6d2afbd62740)
- Rješenje
naziva se partikularno rjesenje diofantske jednacine. Op ste rjesenje je zbir partikularnog rjesenja i rjesenja homogene jednacine ![{\displaystyle ax+by=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edac90720e6ab253bdbe4cac889fb93a8bcdd33)
- Primjer
![{\displaystyle 3x+5y=8}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8319471db86ab09c69781d70959dc43750e8c776)
- Partikularno rješenje je
, a rješenja pripadne homogene jednačine su
, ![{\displaystyle t\in Z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6eac935ebf9bf207d04f884e9f8cf60851add0)
- Rješenja jednačine su parovi
za ![{\displaystyle t\in Z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6eac935ebf9bf207d04f884e9f8cf60851add0)
- Za pronalaženje partikularnog rješenje diofantske jednačine korististimo Euklidov algoritam pomoću kojeg određujemo cijele brojeve
i
za koje vrijedi
gdje je
, a zatim množenjem sa
dobijamo partikularno rješenje.
- Primjer
![{\displaystyle 1000x-123y=5}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f2e34fb3fb0cba1754af7f66a2d0b98692e76a)
![{\displaystyle 1000=8*123+16}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35961946bc76a38cafc3e247e876dc59996e8707)
![{\displaystyle 123=7*16+11}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a94b3daebd05da4ca0be16101e3cb67c5e222be)
![{\displaystyle 16=1*11+5}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1c61a97d8f45d2ff65cc90639ddf979cfcb0d2)
![{\displaystyle 11=2*5+1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608db9c1dbf9dc5ee60bb327ccd4051159961506)
- pa je
![{\displaystyle 16=1000-8*123}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687364c9cb52614583970e3b7650d07abb72ce06)
- 1
![{\displaystyle 1=123-7*16}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93cb808ff28968e06a0daa5b06ec3cb9f1fa747)
![{\displaystyle 5=16-1*11}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc9d0f4894dfe69ad9b938c1a4e3b7ad5ece22b)
![{\displaystyle 1=11-2*5}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8db6ec6388dd1f6456013284f8988227bbfdd0)
- U posljednju jednakost uvrstimo izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti
![{\displaystyle 1=11-2*5=11-2*(16-11*1)=3*11-2*16}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f11cf0b20c94bb10ea549e8be43695626571ff)
![{\displaystyle 1=3*(123-16*7)-2*16=3*123-23*16}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acabec27a6586d5309d5e8d5869a9edf19a5d302)
![{\displaystyle 1=3*123-23*(1000-8*123)=-23*1000+187*123}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63426d8cbfcc12804dd942eef64f750d06f850b4)
- tj.
![{\displaystyle /*5}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51faa74bddc0682c2b1a6398610704ba9f5ea023)
![{\displaystyle 5=-115*1000+935*123}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894196c5c9b7c09a380860813594f310887be494)
![{\displaystyle x_{0}=-115}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890ac26035209994d7f6078fb0e55c520459f1f1)
![{\displaystyle y_{0}=-935}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3142fa309ccea7fd81f58b6d3f5f6386d512d)
![{\displaystyle x=123t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fa820801d99ba45ddf892fd0493805ee633c2d)
![{\displaystyle y=1000t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2dc4270bbdb6f5446b7613fda746ef5a9b5236)
- Rješenje date jednadnacine je
![{\displaystyle x=-115+123t}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41405c218f92110cc1462027e5321403ee451d8a)
![{\displaystyle t\in Z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6eac935ebf9bf207d04f884e9f8cf60851add0)
- Primjer
- Za prevoz neke robe raspolažemo vrećama od 40 kg i 60 kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se prevese 500 kg robe
- Zadatak ćemo riješiti Eulerovom metodom
![{\displaystyle 40x+60y=500}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5dc168c8947a52835bb098a97cd19172b6520a)
za
i ![{\displaystyle y\geq 0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130e8795bc869a5b823133c5a0972693605c00bd)
![{\displaystyle x={\frac {25-3y}{2}}=12-y+{\frac {1-y}{2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360b6e5f9d7c510e7b5d8a0b017f1fe31bd31db5)
![{\displaystyle u\ Z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239ed9f9a758c1dc7d375a4c662013d8928e88d8)
![{\displaystyle 2u+y=1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70319c277f98dfc72cdec29eac9609a064cca8eb)
![{\displaystyle y=1-2u}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fb0e95e420ff20a6999eab4df4efbdaa73d551)
![{\displaystyle x=12-(1-2u)+u=11+3u}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09a0026f0f3f17cd6f78025e14c3ab159a48aad)
- Rješenja jednadčine su parovi
) gdje je
i ![{\displaystyle y=1-2u}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fb0e95e420ff20a6999eab4df4efbdaa73d551)
![{\displaystyle -{\frac {1}{3}}\leq u\leq {\frac {1}{2}}=>u=-3,-2,-1,0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb027933350c7d6b3c10475d82c542c58fab3331)
- Traženi parovi
) su
i ![{\displaystyle (11,1)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8d76fe81d6ba8a2ad8a350f88e8532b4e37b68)
- Ne postoji univerzalna metoda rješavanja ovih jednačina ali zato postoji niz metoda kojima rješavamo neke specijalne tipove nelinearnih diofantskih jednačina. Neke od tih metoda su:
- metoda faktorizacije
- metoda razlomka
- metoda posljednje cifre
- metoda kongruencije
- metoda zbira potencija s parnim eksponentima
- metoda nejednakosti
- Metoda faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku proizvoda cjelobrojnih vrijednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatramo moguće slučajeve.
![{\displaystyle xy+x-3y-3=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ea7834d2e5ba51f13530f7be52d1a82e11862b)
- (
![{\displaystyle x-3)(y+1)=3}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e0b4cc3f36fd0183d7d3df508141f7fea9edd6)
- Ovo je moguće za
x-3 |
y+1
|
1 |
3
|
-1 |
-3
|
3 |
1
|
-3 |
-1
|
- odnosno
- Osnovna ideja ove metode slična je kao kod metode faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku razlomka dvaju cjelobrojnih vrijednosti, dok s druge strane jednačine imamo također cjelobrojnu vrijednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora dijeliti brojnik, što nam daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak u praksi najčešće dobijemo tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.
![{\displaystyle xy+2y=x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41a11befe5dc0e64414d4bce905d9429e5a5e4b)
![{\displaystyle y(x+2)=x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87669dd3d4eab6baa9dd6205d4e9d780c3682ae4)
![{\displaystyle y={\frac {x}{4x+2}}=1-{\frac {2}{x+2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0203f8de888dc9be4d638c7e4363134ef5a732ba)
![{\displaystyle x\ {\begin{Bmatrix}-1,-3,0,-4\end{Bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a061c6cbc01ee4854c698780e5f7b75d62da4a7)
![{\displaystyle y\ {\begin{Bmatrix}-1,3,0,-2\end{Bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccc0fee209bef513562a1da8ec9044ce3f66f24)
Metoda posljednje cifre je podmetoda metode ostataka koja koristi ispitivanje ostataka pri dijeljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih dijelova jednačine, te njihovim usklađivanjem.
![{\displaystyle x^{2}+5y=199519941993}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2679eff68a79506c57361198b2b59d283cdb7b38)
- Kvadrat cijelog broja završava cifrom 0,1,4,5,6,ili 9, a broj
sa 0 ili 5, pa zbir na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rješenja.
![{\displaystyle x^{2}-4y=1995}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96dbdd77bffb930a843ee8c15052335178c157f)
neparan a
paran pa je
neparan
![{\displaystyle x=2k-1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923f57489ca7c328ba77671ca2d88b96d24b8cb8)
![{\displaystyle (2k-1)^{2}-4y=1995}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106931e3e13efba1e481c954a06fc00c7e17859b)
![{\displaystyle 4k^{2}-4k+1-4y=1995}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c897e7d4a52a5f449367cefc4ea0e6638e4fdef8)
![{\displaystyle 4(k^{2}+k-y)=1994}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f5a9b7d3a69563846be05c098747673530ebea)
- Jednačina nema rješenja jer 1994 nije djeljivo sa 4
Metoda zbira je slična metodi faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku zbira (najčešće nenegativnih) cijelih brojeva, te dalje diskutujemo slučajeve koji mogu nastupiti.
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+2x-4y+8=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c033ef3ccc41fe6eb69d5c33893e168ee9cef2e)
![{\displaystyle (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=13}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c287f5d648496630e1a955926d9e791a8359cc6a)
![{\displaystyle (x+1)^{2}=9}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0725dca357a9db47dc13f04b5209c9bac294131)
![{\displaystyle (y-2)^{2}=4}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6348b9ee9aca6f29d9d2e741568e718dbd29861f)
![{\displaystyle (x,y)\in {\begin{Bmatrix}(1,5),(2,4)\end{Bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c3558ce67844eb05f8538bcff2ee44a09f476c)
Ova metoda se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rješenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metoda nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekom drugom metodom za rješavanje nelinearnih diofantskih jednačina
![{\displaystyle 3^{x}+4^{x}=5^{x}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c7b2f0840c6dc3a017f57476cc8eed366266ee)
![{\displaystyle x=2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7)
![{\displaystyle /:5^{x}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5f76270001d9d57d97434df7ad7a9083d179df)
![{\displaystyle ({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}=1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d213b9c0f5812ee0c4b5a4bc59b52bfa4f0ca623)
- za
![{\displaystyle x<2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe4c94bf3a8ff251787ffddfdbee18f32d14edc)
![{\displaystyle ({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}>1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc0eccb305a8aaa06d6956b1baa9553944001f1)
- za
![{\displaystyle x>2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5baa43d43733ac518c4ba02435283386d87553)
![{\displaystyle ({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}<1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37bfd08faa2d5508712f33b61ca2f8b41271670)
- Jednačina ima samo jedno rjesenje
![{\displaystyle x=2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7)
- Neka je zadana jednacina
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24defb565dbcba7850e1bfb51176bcf574b4e56b)
- Uređenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednačinu nazivamo Pitagorina trojka
- Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka
- U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva
,
neparan. Za
,![{\displaystyle y}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci
- Diofantska jednačina oblika
gdje je
i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.
- Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja u skupu prirodnih brojeva. Ako pronađemo najmanje (osnovno) rješenje
, preostala rješenja
možemo generisati na sljedeći načine
- :
![{\displaystyle =(x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}})^{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1b556af24f9b1de823c410a30bcc5ec51b6f6a)
- :
i
za
i ![{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(x_{e},y_{e})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389b4aa585400a1aec495078b43be4050b017006)
- :
i ![{\displaystyle y_{n+1}=x_{e}y_{n}+y_{e}dx_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5591fa9c6e91258daf961fdddf6b138a9902fe4e)
- Jednačina
je Pellovska jednačina (jednačina Pellovog oblika)
Za razliku od Pellove jednačine ova jednačina nema uvijek cjelobrojno rješenje.[1]
- Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve
postoji racionalni broj
koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
![{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd8b11daf641284cd3e72dc377c1376b53c2a5f)
- Primjer
- za
, postoji rješenje jednacie gdje je
,
i
.
- Pomnožimo li obe strane jednačine s
, nalazimo Diofantsku jednačinu oblika:
[2]
DIOFANTSKE JEDNADŽBE Arhivirano 2012-06-11 na Wayback Machine-u
- ↑ „Diofantske jednadžbe // Pellove i pellovske jednadžbe”. Arhivirano iz originala na datum 2016-04-08. Pristupljeno 2016-03-09.
- ↑ 4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa