Магическая окружность
Магические окружности ввёл китайский математик Ян Хуэй (c. 1238–1298) из группы выдающихся сунских алгебраистов (960–1279). Это расположение натуральных чисел по окружностям, в которых сумма чисел на каждой окружности и сумма чисел на диаметрах совпадают. Одна из его магических окружностей составлена из 33 натуральных чисел от 1 до 33, расположенных на четырёх концентрических окружностях с числом 9 в центре.
Магические окружности Яна Хуэя
правитьСерия магических окружностей Яна Хуэя была опубликована в его работе «Сюйгу чжайци суаньфа»《續古摘奇算法》 (Наследственная давняя коллекция редких методов счисления) 1275 года. Его серия магических окружностей включает 5 магических окружностей в квадрате, 6 окружностей в кольце, восемь магических окружностей в квадрате, 9 магических окружностей в квадрате.
Магические концентрические окружности Яна Хуэя
правитьМагические концентрические окружности Яна Хуэя (рисунок выше) имеют следующие свойства
- Сумма чисел на четырёх диаметрах равна 147,
- 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
- Сумма 8 чисел плюс 9 в центре =147;
- 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
- Сумма по восьми радиусам без 9 = магическому числу 69: например, 27 + 15 + 3 + 24 = 69
- Сумма чисел на каждой окружности (не включая 9) = 2 × 69
- Существует 8 полуокружностей, на которых сумма чисел = магическому числу 69; есть 16 отрезков и дуг (полуокружности и радиусы) с магическим числом 69, больше, чем у магического квадрата порядка 6 с только 12 магическими рядами.
Магические восемь окружностей Яна Хуэя в квадрате
править64 числа расположены на окружностях по 8 на каждой с общей суммой 2080 и с суммами по горизонтали и вертикали, равными 260.
Начиная с северо-западного числа по часовой стрелке суммы 8 числовых окружностей:
- 40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260
- 14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260
- 45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260
- 37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260
- 47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260
- 7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260
- 38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260
- 48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260
Также суммы восьми чисел вдоль горизонтальных и вертикальных осей
- 14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260
- 49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260
Более того, сумма 16 чисел по диагоналям равна удвоенному 260:
- 40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 × 260 = 520
Девять магических окружностей Яна Хуэя в квадрате
править72 числа от 1 до 72, расположенных на девяти окружностях. В середине числа образуют ещё четыре числовых окружности, что вместе даёт 13 окружностей по восемь чисел:
С-З | С | С-Ю | ||
x1 | x2 | |||
З | Ц | В | ||
x3 | x4 | |||
Ю-З | Ю | Ю-В |
- Дополнительная окружность x1 содержит числа из окружностей С-З, С, Ц и З
- x2 содержит числа из окружностей С, С-В, В и Ц;
- x3 содержит числа от З, Ц, Ю и Ю-З;
- x4 содержит числа от Ц, В, Ю-В и Ю.
- полная сумма всех 72 чисел = 2628;
- сумма чисел по любой окружности = 292;
- сумма трёх окружностей по горизонтали = 876;
- сумма трёх окружностей по вертикали = 876;
- сумма трёх окружностей по диагонали = 876.
Магические окружности Динга Юдонга
правитьДинг Юдонг был математиком и жил в то же время, что и Ян Хуэй. В его магической окружности 6 колец, цифры единиц чисел (то есть последние цифры) пяти внешних колец вместе с цифрой единиц в центре (5) образуют следующий магический квадрат:
4 9 2 3 5 7 8 1 6
Метод построения: Возьмём
- радиальная группа 1=1,11,21,31,41
- радиальная группа 2=2,12,22,32,42
- радиальная группа 3=3,13,23,33,43
- радиальная группа 4=4,14,24,34,44
- радиальная группа 6=6,16,26,36,46
- радиальная группа 7=7,17,27,37,47
- радиальная группа 8=8,18,28,38,48
- радиальная группа 9=9,19,29,39,49
- радиальная группа =5,15,25,35,45
Расположим радиальные группы 1,2,3,4,6,7,9 так, что
- Каждое число занимает одну позицию на окружности
- Меняем направления так, что одна радиальная группа имеет наименьшее число на внешней стороне, а противоположная группа (по диагонали) имеет на внешней стороне наибольшее число.
- Каждая группа занимает позицию согласно квадрату Ло Шу, то есть группа 1 в позиции 1, группа 2 в позиции 2 и т.д..
- Наконец, формируем самую маленькую окружность так, что
- число 5 принадлежит группе 1
- число 10 принадлежит группе 2
- число 15 принадлежит группе 3
- ...
- число 45 принадлежит группе 9
Магические окружности Чэна Давэя
правитьЧэн Давэй, математик времён династии Мин, в своей книге «Сюаньфа тунцзун»[англ.] привёл некоторые магические окружности
Расширение на более высокие размерности
правитьВ 1917 году У. С. Эндрюс опубликовал расположение чисел numbers 1, 2, 3, ..., 62 на одиннадцати из двенадцати окружностях на сфере, представляющих параллели и меридианы Земли, так что каждая окружность имеет 12 чисел, в сумме дающих 378[1].
Связь с магическими квадратами
правитьМагическая окружность может быть получена из одного или более магических квадратов путём помещения числа на каждом пересечении окружности и спицы (колеса). Дополнительные спицы могут быть добавлены путём замены столбцов магического квадрата.
В примере на рисунке следующий 4×4 совершенный магический квадрат[англ.] был скопирован в верхнюю часть магической окружности. Каждое число с добавлением 16 был помещён симметрично относительно центра окружности. Это приводит к магической окружности, содержащей числа от 1 до 32 с суммами по каждой окружности и диаметром 132[1].
6 | 15 | 4 | 9 |
3 | 10 | 5 | 16 |
13 | 8 | 11 | 2 |
12 | 1 | 14 | 7 |
Примечания
править- ↑ 1 2 Andrews, 1917, с. 198, fig.337.
Литература
править- Lam Lay Yong. A Critical Study of Hang Hui Suan Fa 《杨辉算法》. — Singapore University Press, 1977.
- Part 6 Yang Hui, section 2 Magic circle (吴文俊 主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第六篇 《杨辉》 第二节 《幻圆》) // Grand Series of History of Chinese Mathematics / Wu Wenjun (editor in chief). — Т. 6. — ISBN 7-303-04926-6.
- W. S. Andrews. MAGIC SQUARES AND CUBES. — Second Edition, Revised and Enlarged, Open Court Basic Readers. — 1917. — С. page 198, fig.337.
Для улучшения этой статьи желательно:
|