Пара́бола (греч. παραβολή — приближение[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Парабола

Парабола как коническое сечение

Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет
Уравнения
Другие конические сечения

Определение

править

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

 
Парабола в семействе конических сечений

Вершина

править

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

править

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

  (или  , если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии   от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

править
Визуализация квадратичной параболы

Квадратичная функция   при   также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и   но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

  где   — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение   может быть представлено в виде   а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом  

Общее уравнение параболы

править

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

 

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант   равен нулю.

Уравнение в полярной системе

править

Парабола в полярной системе координат   с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

 

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Уравнение в подерной системе

править

Парабола в подерной системе координат   с центром в фокусе и параметром  , равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением[4]:

 

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

править

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат,   известны координаты трёх различных точек параболы   то его коэффициенты могут быть найдены так:

 

Если же заданы вершина   и старший коэффициент  , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

 
 
 
 

Свойства

править
 
Отражательное свойство параболы (оптика)
 
Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)
 
Длина линий FPnQn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)
  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
  • Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[5].
  • Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

править

Подера параболы

править

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости[6].

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде[6]:

  или  

где   — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы   относительно произвольного полюса   есть дефективная гипербола с двойной точкой  , асимптотой   и следующим уравнением[7][6]:

 

Другими словами, имеет место следующее утверждение[7]:

подера параболы — это рациональная циркулярная кривая 3-го порядка.

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями[6][7]:

  • если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — циссоида;
  • полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — узловая точка подеры;
  • если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с фокусом параболы, то подера — конхоида Слюза[9];
  • если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:
  • действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;
  • две мнимые прямые, которые пересекаются в фокусе параболы.

Вариации и обобщения

править

Графики степенной функции   при натуральном показателе   называются параболами порядка  [10][11]. Ранее рассмотренное определение соответствует   то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при  ;

Параболы в физическом пространстве

править
 
Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Примечания

править
  1. Парабола. Словарь иностранных слов. Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 14 января 2020 года.
  2. Математическая энциклопедия, 1984.
  3. Александров П. С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
  4. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.
  5. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
  6. 1 2 3 4 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64.
  7. 1 2 3 4 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63.
  8. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 5. Некоторые другие кривые, с. 84.
  9. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 4. Подэры, подоиды, изооптические кривые, с. 284.
  10. Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
  11. Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.

Литература

править

Ссылки

править