Eulerjeva enačba
Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0, 1, π, i in e
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/EulerIdentity2.svg/200px-EulerIdentity2.svg.png)
Enačbo je zapisal Leonhard Euler.
Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:
Ta enačba je del enačbe:
kjer je z kompleksno število (x + iy).
Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.
Izpeljava
urediEulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize:
za poljubni realni x. Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih. Če je:
potem velja posebej:
Ker je:
sledi:
Posplošitev
urediEulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n-tih korenov enote, pri n > 1, enaka 0:
Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.