Eulerin identiteetti
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/EulerIdentity2.svg/250px-EulerIdentity2.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/ExpIPi.gif/250px-ExpIPi.gif)
Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö
jossa
- on Neperin luku,
- on imaginaariyksikkö ja
- on pii.
Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi,[1] koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.
Määrittäminen
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Eulerin lause on seuraavanlainen:
Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.
Jos nyt asetetaan
- ,
niin
Koska
ja
seuraa, että
josta saadaan Eulerin identiteetti
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Mathematics: Why the brain sees maths as beauty 13 February 2014. BBC. Viitattu 24.3.2014.
Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. "Luku 21, Eulerin aika". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.