Tsiolkovskijs raketekvation
Tsiolkovskijs raketekvation, uppkallad efter Konstantin Tsiolkovskij som var en av flera som självständigt formulerade ekvationen, behandlar funktionen hos en raket: en farkost som kan accelerera sig själv genom att stöta ifrån sig delar av sin egen massa (reaktionsmassa) i hög fart i motsatt håll.
Raketekvationen lyder som följer: för varje raketmanöver, eller sekvens av raketmanövrar gäller:
eller
som är likvärdigt med:
där är den ursprungliga massan, är massan efter manövern/manövrarna, och är hastigheten hos raketens avgas i relation till raketen.
- är den del av ursprungsmassan som används som reaktionsmassa.
Historik
redigeraRaketekvationen härleddes självständigt av Konstantin Tsiolkovskij mot slutet av 1800-talet och är allmänt förknippad med hans namn. Dock visar en nyligen upptäckt pamflett "A Treatise on the Motion of Rockets" av William Moore[1] att den tidigaste kända härledningen gjordes 1813 vid Royal Military Academy i Woolwich i England. Ekvationen tillämpades då för vapenforskning.
Härledning
redigeraBetrakta följande system:
I denna härledning syftar "raketen" på raketen samt allt icke-förbrukat bränsle.
Newtons andra lag relaterar sambandet mellan alla externa krafter ( ) till förändringen i rörelsemoment för hela systemet enligt följande:
där är rörelsemängden för raketen vid tiden :
och är rörelsemänden för raketen och det förbrukade bränslet vid tiden :
och där, ur en observatörs perspektiv:
är raketens hastighet vid tiden |
är raketens hastighet vid tiden |
är hastigheten av den massa som utgör det förbrända bränslet under tiden |
är raketens massa vid tiden |
är raketens massa vid tiden |
Hastigheten av det förbrända bränslet i observatörens perspektiv är relaterat till hastigheten av det förbrända bränslet raketens perspektiv genom (eftersom det förbrända bränslets hastighet är i negativ riktning)
Löser vi detta får vi:
och, genom att skriva , eftersom att skjuta ut en positiv resulterar i minskad massa,
I och med att det inte finns några externa krafter har vi (Bevarande av rörelsemänd) och
Om vi antar att är konstant, så kan uttrycket ovan integreras:
där är den initiala massan, bränslet inkluderat, är den slutgiltiga massan och är hastigheten av det förbrända bränslet ur raketens perspektiv.
Referenser
redigera- ^ Johnson W., "Contents and commentary on William Moore's a treatise on the motion of rockets and an essay on naval gunnery", International Journal of Impact Engineering, band 16, nummer 3, juni 1995, sid. 499-521