在代數幾何及數論領域,模曲線是一類緊黎曼曲面,同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。
「模曲線」一詞源於以下事實:模曲線參數化了一族橢圓曲線,因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。
考慮上半平面 H := { z ∈ C : Im ( z ) > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\hbox{Im}}(z)>0\}} 。取 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 對模群 Γ := SL ( 2 , Z ) {\displaystyle \Gamma :={\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )} 的有限指數子群之商,所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的平滑代數曲線;從複分析角度來看,便是緊黎曼曲面。
對正整數 N {\displaystyle N} ,定義同餘子群
相應的模曲線記為 X ( N ) {\displaystyle X(N)} ,也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外,其複值點一一對應於下述資料的同構等價類:
當 N ≤ 2 {\displaystyle N\leq 2} 時, X ( N ) {\displaystyle X(N)} 的虧格等於零,否則其虧格則是
Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 的模形式可理解為 X ( N ) {\displaystyle X(N)} 上某族線叢的截面。此��可以用幾何方式研究赫克算子,因為它們由模曲線之間的對應給出。