在代数几何及数论领域,模曲线是一类紧黎曼曲面,同时也是定义于某数域上的射影代数曲线。模曲线是当代数论、表示理论及代数几何中重要的课题。
“模曲线”一词源于以下事实:模曲线参数化了一族椭圆曲线,因而是一种模空间。志村簇是模曲线在高维度的类比。
考虑上半平面 H := { z ∈ C : Im ( z ) > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\hbox{Im}}(z)>0\}} 。取 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 对模群 Γ := SL ( 2 , Z ) {\displaystyle \Gamma :={\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )} 的有限指数子群之商,所得到的未必是紧致空间。作完备化后便得到模曲线。可以证明模曲线必然是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的平滑代数曲线;从复分析角度来看,便是紧黎曼曲面。
对正整数 N {\displaystyle N} ,定义同馀子群
相应的模曲线记为 X ( N ) {\displaystyle X(N)} ,也称为古典模曲线。除了完备化添加的尖点外,其复值点一一对应于下述资料的同构等价类:
当 N ≤ 2 {\displaystyle N\leq 2} 时, X ( N ) {\displaystyle X(N)} 的亏格等于零,否则其亏格则是
Γ ( N ) {\displaystyle \Gamma (N)} 的模形式可理解为 X ( N ) {\displaystyle X(N)} 上某族线丛的截面。此时可以用几何方式研究赫克算子,因为它们由模曲线之间的对应给出。