在数学中,幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。
在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读做:
![{\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f921c25ca8ec1f2b8a9f4a29ab579b2727e0e12)
或简写为:
![{\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900c42854614567ee8cdee05a0e4a17209cd1c81)
换句话说:
- 给定任何集合A,有着一个集合
使得,给定任何集合x,x是
的成员,当且仅当x是A的子集。
通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合
是A的幂集。所以这个公理的本质是:
- 所有集合都有一个幂集。
幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。
幂集公理允许定义两个集合
和
的笛卡儿积:
。
笛卡儿积是个集合因为
。
你可以递归定义集合的任何有限的搜集的笛卡儿积:
。
注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的Kripke-Platek集合论中是可证明的。
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
本條目含有来自PlanetMath《Axiom of power set》的內容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。