极点 (复分析)
外观
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亚纯函数的极点是一种特殊的奇点,它的表现如同时的奇点。也就是说,如果当时,函数,那么在处便具有极点。
定义
[编辑]假设 是复平面的开子集,是的一个元素,是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数和一个非负整数,使得对于所有内的,都有
那么便称为的极点。满足以上条件的最小整数称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。
性质
[编辑]1.函数f在极点a的极限值是.也就是说
2.由性质1.可知,如果令函数
那么代入定义可知:
其中在点解析。那么有是的m阶零点。
3.由于是全纯函数,可以表示为:
这是一个洛朗级数,它的主部分是有限的。全纯函数称为的正则部分。因此,点是的阶极点,当且仅当在处的罗朗级数中所有低于的次数都为零,而次项不为零。
评论
[编辑]如果函数的一阶导数在处具有简单极点,则是的一个分支点,但反过来不成立。
一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。
除了一些孤立奇点外全纯的函数,且所有的奇点均为极点,则该函数称为亚纯函数。