米尔斯常数
外观
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米尔斯常数是使对于所有正整数n,二重指数函数
的整数部分都是素数的最小正实数A。这个常数以W·H·米尔斯命名,他在1947年证明了这个常数的存在。
米尔斯常数的值是未知的,但如果黎曼猜想成立,它的值大约为:
米尔斯素数
[编辑]由米尔斯常数所产生的素数称为米尔斯素数;如果黎曼猜想成立,这个数列的最初几项为:
如果用a(i)来表示数列中的第i个素数,则a(i)可以计算为大于a(i −1)3的最小的素数。为了保证当n = 1,2,3,……时,A3n的整数部分是这个素数数列,必须有a(i) < (a(i −1) + 1)3。Hoheisel和Ingham的结果保证了在任何两个足够大的立方数之间一定有一个素数,这足以证明这个不等式,如果我们从一个足够大的素数a(1)开始。从黎曼猜想,可以推出任何两个连续的立方数之间一定有一个素数,这样就可以去掉足够大的条件,并允许米尔斯素数的数列从a(1) = 2开始。
目前已知最大的米尔斯素数(假设黎曼猜想成立)是:
它有20,562位。
计算
[编辑]通过计算米尔斯素数,我们可以近似计算米尔斯常数为:
Caldwell & Cheng (2005)用这个方法计算出米尔斯常数的差不多七千位数。目前还没有闭合公式可以计算米尔斯常数,甚至不知道它是不是有理数(Finch 2003)。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou, Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem, Journal of Integer Sequences, 2005, 8 (05.4.1) [2008-11-05], (原始内容存档于2011-06-05).
- Finch, Steven R., Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press: 130–133, 2003, ISBN 0521818052.
- Mills, W. H., A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53: 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.