曲波變換(英語:Curvelet Transform)是一種可以對多尺度信號進行表示的非自適應方法。作為小波變換的推廣,曲波變換目前廣泛的應用於諸如圖像處理和科學計算等領域。
小波通過使用具有時頻局域化性質的基對傅立葉變換進行了推廣。對於高維信號,通過局域化朝向(Orientation),小波變換可以具有方向信息。曲波變換和包含方向信息的小波變換的區別在於,對於角度的局域化性質會隨著尺度變化。
曲波變換適用於表示圖像等除奇異點外光滑的信號,這些信號由具有有界曲率的曲線構成,卡通、幾何和文字等圖片都具有這樣的性質,[1]這些圖片的邊緣會隨著圖片的放大顯得越來越直。然而一般的照片不具有類似的特徵,它們往往在幾乎所有的尺度上都有細節信息。所以在處理一般的照片時,選擇具有方向信息的小波變換會在每個尺度上都具有相同的縱橫比。
當圖像類型適合時,曲波變換可以提供比其他小波變換更稀疏的表示。 通過假設僅使用
個小波作為幾何測試圖像的最佳逼近,並將近似誤差作為
的函數來量化表示的稀疏性。對於傅立葉變換,均方誤差的衰減速度約為
。對於包括方向性的和非方向性的一系列小波變換,均方誤差的衰減速度約為
。而採用曲波變換則可以使均方誤差的衰減速度下降到約為
。
Candès等人提出了兩種離散曲波變換的快速算法,分別是基於非均勻採樣傅立葉變換的Curvelet變換(Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT))和基於卷繞的Curvelet變換(Based on the wrapping of specially selected Fourier samples);對於大小為
的圖片,二者的計算複雜度均為
,約是快速傅立葉變換的6-10倍。[2]
為了構建曲波的基函數
,並在二維頻率平面提供一個平鋪(tiling),以下兩個方面應當得到考慮:
- 考慮頻域的極坐標
- 構建的曲波基應以近似楔形的方式局部支撐
在尺度
下,楔形元素的數量為
,也就是說,每經過兩個圓環會使楔形元素數量加倍。
令頻域的坐標
,所以頻域的極坐標為
,
。
在極坐標下,我們假設膨脹的基本曲波為:
為了使構建的曲波基在一個近似楔形區域上支撐,兩個窗函數
和
需要是緊支撐的。我們可以簡單的使
覆蓋
,膨脹的曲波和
使得每一個圓環被
的平移覆蓋。
由容許性條件可以得出:
為了利用
個楔形平鋪一個圓環(
為正整數)我們需要以
為周期的非負窗
在區間
內支撐,使得:
可以簡單的由一個純量窗通過
周期化構建為
。
所以:
為了完全覆蓋包括零點附近區域的頻率平面,我們需要定義一個低通成分
滿足:
該部分在單位圓上支撐,此時不考慮旋轉。
關於Curvelet性質、構建及其離散化的詳細信息,參見[1][3][4]。
- ^ 1.0 1.1 Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2) [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003. (原始內容存檔於2023-02-23) (英語).
- ^ Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3) [2023-02-23]. ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X. (原始內容存檔於2023-02-23) (英語).
- ^ Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2) [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004. (原始內容存檔於2023-02-23) (英語).
- ^ Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2) [2023-02-23]. ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453. (原始內容存檔於2022-12-21).