Площ
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Area.svg/220px-Area.svg.png)
Площ (също и лице на повърхнина) е величина, изразяваща големината на даден двуизмерен обект.[1] Тя е двуизмерен аналог на едноизмерната дължина и триизмерния обем.
Площта на дадена фигура може да бъде определена, като се сравни с квадрат с предварително зададен размер. В Международната система единици площта се измерва в квадратни метри (m²) – площта на квадрат, чиито страни имат дължина 1 m.[2] Фигура с площ 3 квадратни метра би имала площта на три такива квадрата. В математиката площта е безразмерна величина, като за единица се използва единичният квадрат, квадрат с дължина на страните единица.
Площта на основните фигури, като триъгълници, правоъгълници и кръгове, обикновено се изчислява с помощта на няколко широко известни формули. Площта на произволен многоъгълник може да бъде определена чрез същите формули, като той бъде разделен на по-прости фигури, обикновено триъгълници.[3] За изчисляването на площта на по-сложни фигури с криволинейни граници обикновено са необходими методите на математическия анализ. В действителност задачата за определянето на площта на равнинни фигури е сред основните мотиви за първоначалното развитие на този дял на математиката.[4]
Площта на граничната повърхнина на триизмерни тела, като сфера, конус или цилиндър, се н��рича околна повърхнина. Формули за околните повърхнини на прости тела са известни още от Античността, но изчисляването им за по-сложни обекти също се извършва с аналитични методи.
Площта играе важна роля в съвременната математика. Освен очевидната ѝ важност в геометрията и математическия анализ, тя е свързана с дефинирането на детерминантите в линейната алгебра, е една от основните характеристики на повърхнините в диференциалната геометрия.[5]
Единици за площ[редактиране | редактиране на кода]
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png/300px-Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png)
Единицата за измерване на площ в системата SI е квадратният метър (с означение m2).
Някои по-често използвани производни единици на квадратния метър са квадратният километър, квадратният сантиметър, квадратният милиметър:
- 1 km2 = 1 000 000 m2
- 1 m2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
Единицата ар (с означение а) и нейните кратни декар и хектар (с означения da и ha) се използват за измерване на селскостопански площи.
- 1 a = 100 m2
- 1 da = 10 a = 1000 m2
- 1 ha = 100 a = 10 000 m2
Постепенно излизат от употреба широко използваните в миналото (предимно в англоезичния свят) имперски единици (наричани още британски или английски):
- 1 in2 (квадратен инч) = 6,451 6 cm2
- 1 ft2 (квадратен фут) = 144 in2 = 929,03 cm2
- 1 yd2 (квадратен ярд) = 9 ft2 = 0,836 127 36 m2
- 1 rod2 (perch, pole) (квадратен род, пъч или пол) = 30,25 yd2 = 25,292 853 m2
- 1 acre (акър) = 160 rod2 = 43 560 ft2= 4046,856 m2
- 1 mile2 (квадратна миля) = 640 акра = 2,589 988 km2
Остарели руски единици са:
Основни формули за площ[редактиране | редактиране на кода]
Правоъгълници[редактиране | редактиране на кода]
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/RectangleLengthWidth.svg/180px-RectangleLengthWidth.svg.png)
Най-основната формула за площ (или лице на фигура) е тази за площ на правоъгълник. Ако дължината му е l и ширината w, формулата за площта е
- S = lw
С други думи, площта на правоъгълника е произведението на дължината и ширината му. Площта на квадрата е квадратът на страната му. Ако означим страната му с s тогава площта му е:
- S = s2
Тази формула служи за дефиниция или аксиома и произхожда от основните свойства на понятието площ. От друга страна, ако предположим, че геометрията идва преди аритметиката, тя може да послужи за дефиниция на произведението на две числа.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/ParallelogramArea.svg/180px-ParallelogramArea.svg.png)
Повечето други формули се извеждат на базата на разделяне на всяка фигура на по-прости фигури, намиране на тяхната площ и събиране на отделните площи. Така например всеки успоредник може да се раздели на трапец и правоъгълен триъгълник. Ако триъгълникът бъде преместен от другата страна, се получава правоъгълник. Това показва, че лицето на успоредника се намира по аналогичен начин.
- S = bh
- където b е основата, а h височината.
Същият успоредник може да се раздели и на два еднакви триъгълника, по диагонала, като лицето на всеки един от тях е половината от лицето на успоредника:
Подобни аргументи могат да се ползват за да се намерят формули за лицето на ромб, трапец и други по-сложни фигури.
Лице на кръг[редактиране | редактиране на кода]
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/CircleArea.svg/220px-CircleArea.svg.png)
Формулата за лице на кръг се базира на подобен модел. Ако имаме кръг с радиус r, е възможно да се раздели на части, сектори, както е показано на фигурата. Всеки сектор е приблизително с формата на триъгълник и те могат да се пренаредят така, че да образуват успоредник (с добро приближение). Височината на успоредника е r, а основата е половината от обиколката на кръга или πr. По този начин лицето е r × πr или πr2:
- S = πr2
Въпреки че този път разделянето на отделни фигури е приблизително, грешката е много малка ако кръгът се раздели на все по-малки и по-малки триъгълници.
Този принцип всъщност е приложението на елементарните идеи на интегралното и диференциално смятане. Използвайки съвременни методи, лицето на кръга може да се намери от формулата:
Площ на плоска фигура[редактиране | редактиране на кода]
В декартови координати[редактиране | редактиране на кода]
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/180px-Integral_as_region_under_curve.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Areabetweentwographs.svg/180px-Areabetweentwographs.svg.png)
Площта, затворена между графиката на непрекъснатата функция в интервала и хоризонталната ос може да бъде изчислена като определения интеграл на следната функция:
Площта, затворена между графиките на непрекъснатите функции в интервала се намира като разликата от следните определените интеграли:
В полярни координати[редактиране | редактиране на кода]
В полярни коо��динати: площта, ограничена от графиката на функцията и лъчите се изчислява по формулата:
- .
Лице на околна повърхнина[редактиране | редактиране на кода]
На конус[редактиране | редактиране на кода]
Лице на околната повърхнина на прав кръгов конус се нарича границата на редицата от лицата на околните повърхнини на вписаните в него (или описаните около него) правилни пирамиди при неограничено удвояване броя на околните им стени.
След съответните математически пресмятания и граничен преход се стига до формулите за лице на околна и пълна повърхнина:
- или
На цилиндър[редактиране | редактиране на кода]
Лицето на пълната повърхнина на прав цилиндър се дава от:
- 1,
а лицето само на околната повърхнина е
На пирамида[редактиране | редактиране на кода]
Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида се намира по формулата:
където B е лицето на основата, P е периметърът на основата и L е:
където h е височината на пирамидата, а r е радиусът на вписаната окръжност.
На сфера[редактиране | редактиране на кода]
Повърхността на сфера не може да бъде направена плоска, както тази на цилиндър например, поради Гаусовата кривина. Формулата за първи път е изведена от Архимед.
- S = 4πr2
Където r е радиусът на сферата.
Бележки[редактиране | редактиране на кода]
- ↑ РБЕ
- ↑ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960) // bipm.org. BIPM, 2011. Посетен на 30 септември 2011. (на английски)
- ↑ De Berg, Mark et al. Computational Geometry. 2nd revised. Springer-Verlag, 2000. ISBN 3-540-65620-0. p. 45-61. (на английски)
- ↑ Boyer, Carl B. The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover, 1959. ISBN 978-0486605098. (на английски)
- ↑ do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. p. 98. (на английски)