De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
En matemàtiques, una sèrie (o de vegades una integral) de números es diu que convergeix absolutament si la suma dels valors absoluts dels termes (o integrands) és finita.[1]
Es diu que és absolutament convergent si la sèrie .
|
En altres paraules, la sèrie és absolutament convergent si la sèrie de valors absoluts és una sèrie convergent.[1]
La convergència absoluta implica la convergència, però l'afirmació recíproca no és certa.[2]
Demostració
|
Suposem que convergeix, i que . Aleshores, pel criteri de comparació, si convergeix, llavors també ho fa.
Per les propietats del valor absolut, podem considerar:
![{\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdcddd4146d99cf9def88bfbddaccc057b0f051)
Sumem terme a terme en la desigualtat:
![{\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b93746dc315c0d4f9358676967f7fd5cacfb41)
És a dir, .
Ara apliquem membre a membre:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fa35626883dc7fccccefacab56614af48e33cf)
Per hipòtesi, convergeix. Llavors, pel criteri de comparació, també convergeix.(1)
Ara, considerem :
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6c578db2741bc22a9eea47466b206f66eac65d)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c91c3b62ef07e703ee7d14388f179337196ea3)
convergeix per (1).
convergeix per hipòtesi.
Aleshores convergeix per ser diferència de sèries convergents.
|
Si la sèrie
és convergent però no absolutament convergent, hom diu que la sèrie és condicionalment convergent. Això succeeix quan
és divergent.[3]
- ↑ 1,0 1,1 Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. Third edition, 1976. ISBN 0-07-054235-X.
- ↑ Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. «Absolute and Unconditional Convergence in Normed Linear Spaces» (en anglès). Proceedings of the National Academy of Sciences, 36, 3, 01-03-1950, pàg. 192–197. DOI: 10.1073/pnas.36.3.192. ISSN: 0027-8424. PMID: 16588972.
- ↑ «Convergencia absoluta y series alternadas» (pdf). Universidad de Granada. [Consulta: 19 desembre 2021].