Vés al contingut

Principi del mòdul màxim

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una gràfica del mòdul de (en vermell) per al disc de la unitat centrat a l'origen (mostrat en blau). Tal com prediu el teorema, el màxim del mòdul no pot estar dins del disc (per tant, el valor més alt de la superfície vermella es troba en algun lloc de la seva vora).

En matemàtiques, el principi del mòdul màxim en l'anàlisi complexa estableix que si és una funció holomòrfica, llavors el mòdul no pot exhibir un màxim local estricte que estigui correctament dins del domini de .

En altres paraules, tampoc és localment una funció constant, o, per a qualsevol punt dins del domini de existeixen altres punts arbitràriament propers als quals pren valors més grans.

Declaració formal

[modifica]

Sigui ser una funció holomòrfica en algun subconjunt obert connectat del pla complex i prenent valors complexos. Si és un punt de tal manera que [1]

per a tot en algun veïnat de , doncs està encès constant .[2]

Aquesta afirmació es pot veure com un cas especial del teorema de mapeig obert, que estableix que una funció holomòrfica no constant mapeja conjunts oberts a conjunts oberts: assoleix un màxim local a , llavors la imatge d'un barri obert prou petit de no es pot obrir, doncs és constant.[3]

Aplicacions

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. Weisstein, Eric W. «Maximum Modulus Principle» (en anglès). https://mathworld.wolfram.com.+[Consulta: 14 agost 2023].
  2. «The Maximum Modulus Principle» (en anglès). http://math.furman.edu.+[Consulta: 14 agost 2023].
  3. «Section 4.54. Maximum Modulus Principle» (en anglès). https://faculty.etsu.edu.+[Consulta: 14 agost 2023].
  4. «The Maximum Modulus Principle, I. Necessary Conditions» (en anglès). https://www.jstor.org.+[Consulta: 14 agost 2023].