Vés al contingut

Teorema de Fejér

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, i més precisament en anàlisi, el teorema de Fejér és un dels resultats principals de la teoria de sèries de Fourier. Proporciona propietats de convergència molt generals per a la sèrie de Fourier, ja que s'utilitza el procés de suma de Cesàro. El teorema va ser demostrat el 1900 pel matemàtic hongarès Lipót Fejér (1880-1959).[1][2]

Enunciat

[modifica]

Sigui f una funció localmen integrable t i -periòdica. Escrivim

el terme d'ordre n de la sèrie de Fourier, amb

,

llavors

són les successives mitjanes de Cesàro dels termes de la sèrie de Fourier. A continuació, disposem de les afirmacions següents:

  • Teorema de Fejér, versió uniforme :
    Si f es una funció contínua, llavors la sèrie de funcions convergeix uniformement cap a la funció f, amb a més, per a tot N,
     ;
  • Teorema de Fejér, versió Lp , també anomenat Teorema de Fejér-Lebesgue :
    Si f pertany a l'espai Lp, llavors la sèrie de funcions convergeix cap a la funció f en sentit de la norma , amb a més, per a tot N,
    .

Una forma més general del teorema s'aplica a funcions que no necessàriament són contínues.[3] Suposem que f es troba en L¹(-π,π). Si els límits de l'esquerra i de la dreta f(x0±0) de f(x) existeixen a x0, o si els dos límits són infinits del mateix signe, llavors

També existeix una existència o divergència a l'infinit de la mitjana de Cesàro..[4]

Aplicacions

[modifica]

Com a conseqüència del teorema de Fejér es poden obtenir molts resultats sobre la sèrie de Fourier. A les proposicions següents, totes les funcions considerades són -periòdiques.

  • L'aplicació a una funció integrable que associa els seus coeficients de Fourier és injectiva.
La injectivitat s'ha d'entendre a l'espai L{{1}}, és a dir, dues funcions amb els mateixos coeficients de Fourier són iguals gairebé a tot arreu. En el cas de dues funcions contínues, són iguals.
  • El teorema uniforme de Fejér constitueix una de les possibles proves del teorema de Weierstrass trigonomètric: si f és una funció contínua, hi ha una seqüència de polinomis trigonomètrics que conflueixen uniformement cap a f. De la mateixa manera, el teorema de Fejér-Lebesgue demostra la densitat de l'espai dels polinomis trigonomètrics als diferents espais Lp.
  • Si f és contínua i si la seva sèrie de Fourier convergeix fins a un punt x, de manera que ella necessàriament convergeix f (x).
S'ha de comparar amb el comportament de la sèrie de Taylor d'una funció, que molt bé pot convergir a un valor diferent al valor de la funció.

Referències

[modifica]
  1. Fejér, Lipót. Sur les fonctions intégrables et bornées (en francès). C.R. Acad. Sci. Paris (CRAS Paris), 10 de desembre de 1900, p. 984-987. 
  2. Fejér, Leopold. «Untersuchungen über Fouriersche Reihen» (en alemany) p. 51-69. Math. Annalen, 1904.
  3. Zygmund, 1968, Theorem III.3.4.
  4. Zygmund, 1968, Theorem III.5.1.

Bibliografia

[modifica]