Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.
Nechť
je neprázdný úplný metrický prostor a
je kontrakce na
. Pak existuje právě jeden prvek
takový, že
.
je kontrakce, existuje tedy
takové, že pro všechny
platí
.
Zvolme libovolně
. Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro
jako
. Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;\forall m,n\geq n_{0}\;:d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee630c5a2859d5b11e0dc01d68efce2df7262ae)
Pro dané
,
a
(bez újmy na obecnosti volíme
) hledáme
. Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne
![{\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +d(x_{m-1},x_{m})\leq }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ca5a0f3e7553ef402d373a246750692b113b78)
dále z vlastnosti kontrakce a sečtením
členů geometrické posloupnosti
![{\displaystyle \leq d(x_{n},x_{n+1})+\alpha d(x_{n},x_{n+1})+\cdots +\alpha ^{m-n-1}d(x_{n},x_{n+1})=(1+\alpha +\cdots +\alpha ^{m-n-1})d(x_{n},x_{n+1})=}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b5d96700a3b38a98b0e7435911bb7ea933fd79)
![{\displaystyle ={\frac {1-\alpha ^{m-n}}{1-\alpha }}\alpha ^{n}d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fba06d240fec7b3fc96f8ce7690c5b9685ba52)
Limita posledního výrazu pro
je nula, pro každé
tedy existuje
, že
![{\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})<\varepsilon }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8485d349f411d5f2eb040c1f5dc9e481754423b6)
a posloupnost
je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor
úplný, Cauchyovská posloupnost
konverguje k nějakému
.
![{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }Ax_{n-1}=}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e8cc85b2561e34b5826005c9cbd9abfb75b61c)
z věty o limitě složené funkce (vnější funkce
je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)
![{\displaystyle =A\lim _{n\to \infty }x_{n-1}=Ax}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7167e0c48e9e4c6a03c02b19ac0e2d0a08c65eb0)
je tedy pevným bodem zobrazení
.
Zbývá ukázat, že
je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body
a
.
![{\displaystyle d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c40a8212ea9010024743479d842831ca4a69761)
protože
je kladné můžeme obě strany krátit a zbude
,
což je spor, protože
.