Přeskočit na obsah

Sinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Sinová věta v trojúhelníku s barevně vyznačenými dvojicemi tvořícími sobě rovné poměry.
Sinová věta v trojúhelníku včetně zakreslené opsané kružnice.

Sinová věta popisuje v trigonometrii konstantní poměr délek stran a hodnot sinu jejich protilehlých vnitřních úhlů v obecném trojúhelníku. Podle sinové věty pro každý rovinný s vnitřními úhly α, β, γ, stranami a, b, c a poloměrem r kružnice opsané (viz obrázky vpravo) platí:

Sinová věta je používána při triangulaci, kde umožňuje dopočítat délky zbývajících stran trojúhelníku, ve kterém je známá délka jedné strany a dvou úhlů. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je kosinová věta.

Brazilský historik matematiky Ubiratàn D'Ambrosio a americká vědecká historička Helaine Selin tvrdí, že sférická sinová věta byla objevena v 10. století. Je připisována různým arabským učencům: Abu-Mahmud Chudžandi, Abu'l-Wafa, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī a Abu Nasr Mansur.[1]

Ibn Mu'adh al-Džajjani' napsal v 11. století knihu Kniha neznámých úhlů koule, která obsahuje obecnou sinovou větu.[2] Sinovou větu v rovině představil ve 13. století perský učenec Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī. Ve svém díle Risālatun fī al-šakl al-qiṭā' wa al-nisbati al-mu'allafah, uvedl sinovou větu pro rovinné i sférické trojúhelníky a poskytl pro ni důkaz.[3][4]

Historik Glen Van Brummelen uvedl, že v Evropě základy pro sinovou větu v pravoúhlém trojúhelníku položil německý matematik Regiomontanus v 15. století ve svazku Kniha IV, na čemž založil řešení v obecných trojúhelnících.[5]

Příklady

[editovat | editovat zdroj]

Následující příklady ukazují, jak využít sinovou větu při výpočtech v obecném trojúhelníku (nemusí tedy být pravoúhlý jako v případě použití Pythagorovy věty). Sinovou větou lze řešit příklady, kde jsou zadány alespoň tři údaje: strana a dva úhly (výsledkem je jedno řešení) nebo dvě strany a jiný úhel než jimi sevřený (výsledkem mohou být dvě řešení). Tyto výpočty jsou používány při tzv. triangulaci. Pro jiná zadání je možné použít kosinovou větu.

Příklad 1

[editovat | editovat zdroj]

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 10, úhel α = 30° a úhel β = 45°. Jaká je velikost strany a?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

Do rovnice dosadíme známé hodnoty:

Z rovnice vyjádříme a na levé straně rovnice:

Výsledek je:

Příklad 2

[editovat | editovat zdroj]

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 18, strana c = 25, úhel β = 30°. Jaká je velikost úhlu γ?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

Do rovnice dosadíme známé hodnoty:

Rovnice vynásobíme oběma jmenovateli:

Upravíme:

Vyjádříme α:

Výsledek je:

nebo

Důkaz věty

[editovat | editovat zdroj]
Tento obrázek zobrazuje trojúhelník vepsaný do kruhu. Vrcholy trojúhelníku jsou označeny jako A, B a C a kruh je vystředěn v bodě D.

Pomocí definice funkce sinus

[editovat | editovat zdroj]

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak za použití funkce sinus a stran CP, AC a úhlu α (tj. úhel CAP) platí:[6][7]

A zároveň platí:

Z předchozích dvou rovnic tedy platí:

Což lze zapsat také jako:

Ostatní rovnosti uváděné v sinové větě lze získat cyklickou záměnou stran.

Pomocí plochy

[editovat | editovat zdroj]

Plochu S libovolného trojúhelníku lze zapsat jako součin poloviny jeho základny krát výška trojúhelníku. Vybereme-li jednu stranu trojúhelníku jako základnu, výška trojúhelníku vzhledem k této základně se vypočítá jako délka další strany krát sinus úhlu mezi vybranou stranou a základnou. V závislosti na výběru základny lze tedy obsah trojúhelníku zapsat jako kterýkoli navzájem si rovných výrazů:

Vynásobením předchozí rovnosti výrazem dostaneme:

, což lze zapsat i jako převrácené hodnoty:

Souvislosti

[editovat | editovat zdroj]

Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:

z čehož plyne:

Sinovou větu lze ovšem zformulovat také takto:

, či takto: , nebo takto: ,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

  • Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
  • Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

[editovat | editovat zdroj]

Poměr vyjádřený sinovou větou je roven průměru kružnice opsané tomuto trojúhelníku:

Z toho lze odvodit poloměr kružnice opsané:

  1. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in SELIN, Helaine; D'AMBROSIO, Ubiratan. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. [s.l.]: Springer, 2000. ISBN 1-4020-0260-2. 
  2. O'CONNOR, John J.; ROBERTSON, Edmund F. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999-11 [cit. 2023-03-13]. Dostupné online. (anglicky) 
  3. BERGGREN, J. Lennart. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. [s.l.]: Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-11485-9. Kapitola Mathematics in Medieval Islam, s. 518. 
  4. LIBRARY OF CONGRESS. A Treatise on the Sector-Figure and the Composition of Ratios. Online. Library of Congress. 2010. Dostupné z: https://www.loc.gov/item/2021667386/. [cit. 2024-02-13].
  5. Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8
  6. Sinová věta (přímý důkaz). Sbírka řešených úloh [online]. MFF UK, 2016-08-04 [cit. 2023-03-15]. Dostupné online. 
  7. HAVRLANT, Lukáš. Sinová a cosinová věta. Matematika po lopatě [online]. Matweb [cit. 2023-03-15]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]