Trigonometrisk funktion
Trigonometriske funktioner er matematiske funktioner, som defineres ud fra retningspunkter på enhedscirklen. Derfor kaldes trigonometriske funktioner også for cirkulære funktioner.
I indledende undervisning defineres funktionerne oftest ud fra retvinklede trekanter. Ved hjælp af funktionerne kan man direkte "omregne" en vinkel fra en trekant, til forholdet (kvotienten) mellem to sider i trekanten. De grundlæggende trigonometriske funktioner er sinus og cosinus, mens de øvrige er dannet ud fra disse.
Sinus og cosinus
[redigér | rediger kildetekst]![Uddybende](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/15px-Searchtool.svg.png)
![Uddybende](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/15px-Searchtool.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Unit_circle.svg/220px-Unit_circle.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Trigono_b00.svg/220px-Trigono_b00.svg.png)
Sinus og cosinus kan defineres med brug af en enhedscirkel som er en cirkel i et retvinklet koordinatsystem med centrum i (0,0) og radius 1 (figur 1). cos t og sin t er de funktioner som opfylder at en halvlinje med start i (0,0) med vinklen t i forhold til den positive del af førsteaksen vil skære enhedscirklen i punktet (cos t, sin t). Heraf følger at cos og sin er periodiske funktioner med perioden 2π eller 360° da halvlinjen har samme placering hver gang den har gennemløbet enhedscirklen.
Hvis man placerer en trekant i koordinatsystemet med hjørnerne på punkterne (0,0), (cos t, sin t) og (cos t, 0), ses det at trekanten må være retvinklet med en hypotenuse på 1 (figur 2). Ud fra denne trekant kan udledes at det generelt gælder for retvinklede trekanter at:
- Sinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens modstående katete og hypotenusen
- Cosinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens hosliggende katete og hypotenusen
Tangens og cotangens
[redigér | rediger kildetekst]![Uddybende](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/15px-Searchtool.svg.png)
Tangens er defineret som[1] , mens cotangens er .
Tangens og cotangens er periodiske med perioden π eller 180°.
For retvinklede trekanter gælder:
- Tangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens modstående katete og dens hosliggende katete.
- Cotangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens hosliggende katete og dens modstående katete.
Sekans og cosekans
[redigér | rediger kildetekst]Sekans og cosekans er de reciprokke funktioner til henholdsvis cosinus og sinus:
- og .
For retvinklede trekanter gælder:
- Sekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens hosliggende katete.
- Cosekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens modstående katete.
Disse to funktioner bruges stort set ikke i dansksprogede områder, hvor man i stedet bruger regneudtryk med cosinus og sinus.
Navnenes betydning
[redigér | rediger kildetekst]Navnene kommer parvis med eller uden præfikset co-. Co- står for komplementær. To vinkler der sammenlagt giver en ret vinkel, kaldes for komplementære vinkler, således er de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er altid komplementære. "Co-"-udgaven af en trigonometrisk funktion giver samme funktionsværdi for en vinkel, som udgaven uden "co-" giver for den komplementære vinkel.
Omvendte funktioner
[redigér | rediger kildetekst]Hvis man begrænser de trigonometriske funktioners definitionsmængder så de bliver injektive, kan man danne omvendte funktioner. De omvendte funktioner kaldes arcus-funktioner, og deres symboler laves ved at tilføje præfikset arc-: arcsin, arccos, arctan osv.
Grafisk afbildninger
[redigér | rediger kildetekst]Nedenfor vises graferne for sinus, cosinus og tangens. X-aksernes værdi udtrykker vinklens størrelse i radianer i forhold til pi, samt den tilsvarende værdi i grader.
Referencer
[redigér | rediger kildetekst]- ^ Holth (1987) s. 58
Se også
[redigér | rediger kildetekst]Bog
[redigér | rediger kildetekst]- Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3